２次関数

質問

aを定数とし、xの２次関数y=x^2-2(a+3)x+2a^2+8a+4…(1)のグラフをGとする。

グラフGが表す放物線の頂点のx座標が-5以上-1以下の範囲にあるとする。

このとき、aの値の範囲は-5≦a≦-8…(ア)であり、２次関数(1)の-5≦x≦-1における最大値Mは(イ)≦a≦(ウ)のとき、M=(エ)a^2+(オ)a+(カ)
(キ)≦a≦(ク)のとき、M=(ケ)a^2+(コ)a+(サ)である。

したがって、２次関数(1)の-5≦x≦-1における最小値が24であるならば、a=(シ)であり、このときの最大値Mは、M=(ス)である。

１.(ア)の答えはこれで合っていますか？

２.(イ)～(ス)の求め方がわかりません。
解説よろしくお願いします。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

y=x^2-2(a+3)x+2a^2+8a+4=｛x-(a+3)｝^2+a^2+2a-5・・・(2)ですから
頂点のx座標はx=(a+3)であり、-5≦a+3≦-1から-8≦a≦-4…(ア)
になります。
２次関数(1)は下に凸な二次曲線であり頂点のx座標=(a+3)が
-5以上-1以下の範囲にあるわけですから、２次関数(1)が-5≦x≦-1
の範囲で最大になるのは、頂点のx座標=(a+3)が-5寄りであればx=-1で
２次関数(1)は最大になり、頂点のx座標=(a+3)が-1寄りであればx=-5で
２次関数(1)は最大になります。
よって-5≦(a+3)≦-3の時M=2a^2+10a+11
-3≦(a+3)≦-1の時M=2a^2+18a+59となります。
書き直して-8≦a≦-6の時M=2a^2+10a+11、-6≦a≦-4の時M=2a^2+18a+59
なお、a=-6の時は2a^2+10a+11=2a^2+18a+59=23となります。
ということで、(イ)=-8、(ウ)=-6、(エ)=2、(オ)=10、(カ)=11、(キ)=-6、(ク)=-4、
(ケ)=2、(コ)=18、(サ)=59となります。
２次関数(1)の最小値は(2)式よりa^2+2a-5ですからa^2+2a-5=24として
a=-1±√30となりますが、-8≦a≦-4…(ア)からa=-1-√30に決まり、
-8≦a≦-6の範囲にあるのでa=-1-√30をM=2a^2+10a+11に代入して
M=63-6√30となります。よって(シ)=-1-√30、(ス)=63-6√30。

お礼

自分が何処を間違えていたのかよくわかりました。
解説が丁寧でとてもわかりやすかったです。
凄く助かりました。
いつもありがとうございますm(__)m

回答No.2

ferien

aを定数とし、xの２次関数y=x^2-2(a+3)x+2a^2+8a+4…(1)のグラフをGとする。

グラフGが表す放物線の頂点のx座標が-5以上-1以下の範囲にあるとする。

このとき、aの値の範囲は-5≦a≦-8…(ア)であり、２次関数(1)の-5≦x≦-1における最大値Mは(イ)≦a≦(ウ)のとき、M=(エ)a^2+(オ)a+(カ)
(キ)≦a≦(ク)のとき、M=(ケ)a^2+(コ)a+(サ)である。

したがって、２次関数(1)の-5≦x≦-1における最小値が24であるならば、a=(シ)であり、このときの最大値Mは、M=(ス)である。

>１.(ア)の答えはこれで合っていますか？

f(x)＝x^2-2(a+3)x+2a^2+8a+4…(1)とおくと
　　＝｛ｘ－２（ａ＋３）＋（ａ＋３）^2}－（ａ＋３）^2＋２ａ^2＋８ａ＋４
　　＝｛ｘ－（ａ＋３）｝^2　－（ａ＋３）^2＋２ａ^2＋８ａ＋４
　　＝｛ｘ－（ａ＋３）｝^2＋（ａ＋１）^2－６

f(x)は、軸がｘ＝ａ＋３　の下に凸な放物線です。その-5以上-1以下の範囲について考えます。

軸がｘ＝ａ＋３なので、頂点のx座標が-5以上-1以下ということは、
－５≦ａ＋３≦－１ということだから、－８≦ａ≦－４　です。

>２.(イ)～(ス)の求め方がわかりません。

１）
２次関数(1)の-5≦x≦-1における最大値Mは(イ)≦a≦(ウ)のとき、M=(エ)a^2+(オ)a+(カ)
(キ)≦a≦(ク)のとき、M=(ケ)a^2+(コ)a+(サ)である。

（１）の式から、-5以上-1以下の範囲ということから、次の式を求めておきます。-

ｆ（－１）＝｛（－１）－（ａ＋３）｝^2　－（ａ＋３）^2＋２ａ^2＋８ａ＋４
　　　　　＝２ａ^2＋１０ａ＋１１
ｆ（－５）＝｛（－５）－（ａ＋３）｝^2　－（ａ＋３）^2＋２ａ^2＋８ａ＋４
　　　　　＝２ａ^2＋１８ａ＋５９

最小値については、ｘ＝ａ＋３のとき、最小値＝（ａ＋１）^2－６と分かっていますが、
最大値については、ｆ（－１）かｆ（－５）のどちらかになりますが、
それはａの範囲によって決まります。

－５≦ａ＋３≦－１なので、真ん中の値ａ＋３＝－３→ａ＝－６について調べると、

ｆ（－１）＝２ａ^2＋１０ａ＋１１　ａ＝－６を代入すると、ｆ（－１）＝２３
ｆ（－５）＝２ａ^2＋１８ａ＋５９　同じく、ｆ（－５）＝２３　
よって、ａ＝－６のときは、どちらも最大値になります。（どちらかに決められない）

よって、－５≦ａ＋３≦－３のとき、つまり
－８≦ａ≦－６のとき、最大値Ｍ＝ｆ（－１）＝２ａ^2＋１０ａ＋１１　
－３≦ａ＋３≦－１のとき、つまり、
－６≦ａ≦－４のとき、最大値Ｍ＝ｆ（－５）＝２ａ^2＋１８ａ＋５９　

(イ)≦a≦(ウ)のとき、M=(エ)a^2+(オ)a+(カ)　イ＝－８、ウ＝－６、エ＝２、オ＝１０，か＝１１
(キ)≦a≦(ク)のとき、M=(ケ)a^2+(コ)a+(サ)　キ＝－６、ク＝－４、ケ＝２，コ＝１８、サ＝５９

ｘの-5以上-1以下の範囲で軸の位置をいろいろ変えてグラフを書いてみれば分かります。

２）
２次関数(1)の-5≦x≦-1における最小値が24であるならば、a=(シ)であり、このときの最大値Mは、M=(ス)である。

最小値＝（ａ＋１）^2－６＝２４として解くと、ａ＋１＝±ルート３０　
ａ＝－１－ルート３０（－５≦ａ≦－１）　

２５＜３０＜３６より、５＜ルート３０＜６、－６＜－ルート３０＜－５、－７＜－１－ルート３０＜－６から、
このとき－７＜ａ＜－６だから、最大値は　ｆ（－１）＝２ａ^2＋１０ａ＋１１　のほうで、、

この式にａ＝－１－ルート３０を代入して計算すると、最大値Ｍ＝６３－６ルート３０　

よって、シ＝－１－ルート３０、ス＝６３－６ルート３０　

答えが違うとかなにかあったらお願いします。

お礼

丁寧な解説の御蔭で自分が何処を間違えていたのかよくわかりました。
解答はすべて合っていました。解答しか載っていなかったのでとても助かりました。
いつもありがとうございますm(__)m