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三角関数問題の解法と範囲
- この記事では、センターの三角関数問題について解説します。
- 具体的な問題として、0≦θ<360°の範囲での関数y=2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ-3のグラフを考えます。
- また、x=sinθ+cosθという関係を利用して、y=x^2 -2x - 4という別の式でも表せることを紹介します。
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k=-2(1+√2)です。 と答えだけ書いても仕方ありませんが、空欄の形式とこの数字は一致していますか？ 求め方 y=2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ-3 と y=k の交点を考えるのはお分かりかと思います。それで、誘導にしたがって変数変換をするとθの方程式の方は y=x^2-2x-4 (-√2≦x≦√2) となります。図が書けないのでこのグラフをjiro_02さん自身で書いてくださいね。このグラフとy=kのグラフを重ねて、kを動かしていきます。 さて、ここからがポイントなのですが 普通はxの値一つに対してθの値は２つ定まります。先の質問の中に関連する部分があります。普通は、と書いたのはそうでない場合があるからです。そうでない場合とは、x=-√2やx=√2のときで、この場合はθはそれぞれ270°と90°に一つに定まります。 これでｘとθの関係はわかりました。次はｙとｘの関係です。グラフより k＜-5 のとき交点0個 k=-5 のとき交点１個（重解） -5＜k≦-2(√2+1) のとき交点２個 -2(√2+1)＜k≦2(√2-1)のとき交点１個 2(√2-1)＜k のとき交点０個 ということが分かります。 さて、「θの方程式が相異なる３個の解をもつ」ということは「ｙとｘの関係において２つ交点があり、そのうちの一つのｘからθの値は１つしか定まらず、もう一つのｘからは２つ定まる」ということです。それ以外はあり得ません。 ｘからθが１つしか定まらないのはx=-√2（このときk=2(√2-1)）やx=√2(このときk=-2(√2+1)) のときですが、x=-√2の時はｙとｘの交わりが１つしかなく、結局θは一つしか定まりません。x=√2のときは、もう一回交わりその交点からはθが２つ定まるので、合計で３つ解が定まるというわけです。 ややこしいとおもいますが、ご理解いただけたでしょうか。
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- roro02
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疑問点が残ってしまったようで・・・。こちらの書き方がやや不正確な部分もあったので、補足します。 最大のポイントは「θとｘの関係」なわけで、「ｘのある定まった直に対してθがいくつ決まるか」がキーです。「ｘのある値に対してをのときのθの値」が問題ではないのです。 つまり、この場合ｘ=√2 のときθが45°か90°か分かりませんが、とにかく一つしか定まらないということが重要なのです。所詮sinは周期関数で、0≦θ<360°と書いてあれば１周期ありますので特に範囲を意識せずに（初めはきちんとやってくださいね、なれれば適当に解答が書けます(笑)）解答することができます。 要は、sinθであろうがsin(θ+α)であろうが大差ないということが言いたいのです。 とりあえず答えがあっているっぽいのでほっとしています^^
お礼
＞最大のポイントは「θとｘの関係」なわけで、「ｘのある定まった直に対してθがいくつ決まるか」がキーです。「ｘのある値に対してをのときのθの値」が問題ではないのです。 すごくわかりやすいです！！なるほど、発想の時点で間違っていました。sin(θ+α)はみやすくするためにθ+α＝Aとおけばわかりやすいですね。Aの解の個数とθの解の個数は一致しているんですね。失礼しました。どうもありがとうございました！
お礼
roro02さん引き続きお答えしていただいてどうもありがとうございます。 >k=-2(1+√2)です。 と答えだけ書いても仕方ありませんが、空欄の形式とこの数字は一致していますか？ はい！一致しております！ >x=-√2やx=√2のときで、この場合はθはそれぞれ270°と90°に一つに定まります。 ちょっと待ってください。この場合、x=√2sin(θ+45°)なので、√2の場合をとって考えてみますと、x=√2のとき、sin(θ+45°)=1となることはわかるのですが、ここはθではなくθ+45ですよね？sinθ=1だったら、θはそれぞれ270°と90°に決まると思うのですが、θ+45の場合はちょっとわかりません。どういった順序で考えればすっきりするのでしょうか？ ここから先のお話はとてもよくわかったので、ここさえクリアできれば安心なのですが。