三角関数問題の解法と範囲
- この記事では、センターの三角関数問題について解説します。
- 具体的な問題として、0≦θ<360°の範囲での関数y=2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ-3のグラフを考えます。
- また、x=sinθ+cosθという関係を利用して、y=x^2 -2x - 4という別の式でも表せることを紹介します。
- ベストアンサー
三角関数の問題のわからないところですpt2
センターの三角関数の問題です。わからないところ以外の空欄は埋めています。 0≦θ<360°のときy=2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ-3とする。 x=sinθ+cosθとすると、y=x^2 -2x - 4とかける。 x=√2sin(θ+45°)であるから、xの値の範囲は-√2≦x≦√2である。 したがって、yはθ=225°のとき最大値2(√2 - 1)をとり、最小値は-5である。 さらにkを定数とし、θの方程式2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ-3=kが相異なる3個の解をもつときk=( )である 最後の空欄に関してなのですが、どのような順序で求めれば良いのかわかりません。sinθの値とθの解の個数の関係は理解しているつもりなのですが、今回はsinθではなく√2sin(θ+45°)となっているので混乱しています。よろしくお願いします。
- jiro_02
- お礼率93% (93/99)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数3
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
k=-2(1+√2)です。 と答えだけ書いても仕方ありませんが、空欄の形式とこの数字は一致していますか? 求め方 y=2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ-3 と y=k の交点を考えるのはお分かりかと思います。それで、誘導にしたがって変数変換をするとθの方程式の方は y=x^2-2x-4 (-√2≦x≦√2) となります。図が書けないのでこのグラフをjiro_02さん自身で書いてくださいね。このグラフとy=kのグラフを重ねて、kを動かしていきます。 さて、ここからがポイントなのですが 普通はxの値一つに対してθの値は2つ定まります。先の質問の中に関連する部分があります。普通は、と書いたのはそうでない場合があるからです。そうでない場合とは、x=-√2やx=√2のときで、この場合はθはそれぞれ270°と90°に一つに定まります。 これでxとθの関係はわかりました。次はyとxの関係です。グラフより k<-5 のとき交点0個 k=-5 のとき交点1個(重解) -5<k≦-2(√2+1) のとき交点2個 -2(√2+1)<k≦2(√2-1)のとき交点1個 2(√2-1)<k のとき交点0個 ということが分かります。 さて、「θの方程式が相異なる3個の解をもつ」ということは「yとxの関係において2つ交点があり、そのうちの一つのxからθの値は1つしか定まらず、もう一つのxからは2つ定まる」ということです。それ以外はあり得ません。 xからθが1つしか定まらないのはx=-√2(このときk=2(√2-1))やx=√2(このときk=-2(√2+1)) のときですが、x=-√2の時はyとxの交わりが1つしかなく、結局θは一つしか定まりません。x=√2のときは、もう一回交わりその交点からはθが2つ定まるので、合計で3つ解が定まるというわけです。 ややこしいとおもいますが、ご理解いただけたでしょうか。
その他の回答 (1)
- roro02
- ベストアンサー率26% (15/57)
疑問点が残ってしまったようで・・・。こちらの書き方がやや不正確な部分もあったので、補足します。 最大のポイントは「θとxの関係」なわけで、「xのある定まった直に対してθがいくつ決まるか」がキーです。「xのある値に対してをのときのθの値」が問題ではないのです。 つまり、この場合x=√2 のときθが45°か90°か分かりませんが、とにかく一つしか定まらないということが重要なのです。所詮sinは周期関数で、0≦θ<360°と書いてあれば1周期ありますので特に範囲を意識せずに(初めはきちんとやってくださいね、なれれば適当に解答が書けます(笑))解答することができます。 要は、sinθであろうがsin(θ+α)であろうが大差ないということが言いたいのです。 とりあえず答えがあっているっぽいのでほっとしています^^
お礼
>最大のポイントは「θとxの関係」なわけで、「xのある定まった直に対してθがいくつ決まるか」がキーです。「xのある値に対してをのときのθの値」が問題ではないのです。 すごくわかりやすいです!!なるほど、発想の時点で間違っていました。sin(θ+α)はみやすくするためにθ+α=Aとおけばわかりやすいですね。Aの解の個数とθの解の個数は一致しているんですね。失礼しました。どうもありがとうございました!
関連するQ&A
- 三角関数の問題です。
三角関数の問題です。 2次方程式 5x^2-7x+k=0 の2つの解が、sinΘ、cosΘであるとき、 定数k の値と sin^3Θ+cos^3Θの値を求めよ。 です。 「sinΘ+cosΘ=7/5」 「sinΘcosΘ=k/5」 を使って計算するらしいのですが、 この2つの式はどうやって求めたのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数IIの三角関数の問題
数IIの三角関数の問題 次の3つの問題が分かりません。 解説をお願いします。 1、関数 y=cos2x-sinx(0≦x<2π) の最大値と最小値を求めよ。 また、与えられた実数aに対して、方程式 cos2x-sinx=a(0≦x<2π)の解の個数を求めよ。 2、45°≦θ≦135°のとき、関数f(θ)=3(sinθ)^2+4√3sinθcosθ-(cosθ)^2の最大値と最小値を求めよ。 3、aを定数とする。xについての方程式 (cosx)^2+2a(sinx)-a-1=0 の 0≦x≦2π における異なる実数解の個数を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数について
kは定数とする。θの方程式 2(√3sinθ-cosθ)+(√3sin2θ+cos2θ)=k(0≦θ≦π) について次の問いに答えよ。 (1)t=√3sinθ-cosθとおくとき、tをrsin(θ+α)の形(r>0、-π<α≦π)に変形せよ。また、tの取りうる値の範囲を求めよ。 (2)(1)のtについてt^2を計算して、 √3sin2θ+cos2θをtの式で表せ。 (3)θの方程式 2(√3sinθ-cosθ)+(√3sin2θ+cos2θ)=k(0≦θ≦π)の解の個数を分類しなさい。 この問題で (1) t=2sin(θ+2/3π) -1≦t≦2 (2)√3sin2θ+cos2θ=-t^2+2 と答えがでて、 (3)y=kとy=-t^2+2t+2が共有点について調べればよい。までわかったんですが、そこからθの個数について分類するまでが分かりません。 解答は k<-1,3<kのとき解θは0個 -1≦k<2のとき解θは1個 k=2,3のとき解θは2個 2<k<3のとき解θは3個 となっていますが、0個の分類はわかるんですが、1~3個までの分類の仕方が分からないので教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角方程式
(1)t=sinθ+cosθとおく。sinθcosθをtを用いて表せ。 (2)0≦θ≦πのとき、t=sinθ+cosθのとりうる値の範囲を求めよ。 (3)0≦θ≦πのとき、θの方程式 2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ)-k=0の 解の個数を、定数kが次の3つの値の場合について調べよ。 k=1 k=1-2√2 k=-1.9 【自分の解答】 (1)sinθcosθ=(t^2 -1)/2 (2)-1≦t≦√2 (3)方程式は、tで表すと、 t^2 -2t-1-k=0となる。 y=t^2 -2t-1=kとすると、 y=(t-1)^2 -2 (-1≦t≦√2) y=(t-1)^2 -2 のグラフとy=kの交点の個数を考えると、 k=1のとき、解の個数は1個 k=1-2√2のとき、解の個数は2個 k=-1.9のとき、解の個数は2個 しかし、t=-1.9のとき、解は3個です。答えは どうしてこうなるのか、解説お願いします(>_<)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角比の2次方程式の解の個数という問題でわからない問題があるので、教え
三角比の2次方程式の解の個数という問題でわからない問題があるので、教えて下さい。 30°≦Θ≦180°とする。sin^2Θ+cosΘ-a=0・・・? について、 (1) ?が解をもつための定数aの値の範囲を求めよ。 (2) ?が異なる2個の解をもつための定数aの値の範囲を求めよ。 なのですが、 (1)はsin^2を(1-cos^2)にして、aを移行して、 -1≦a≦5/4 になるのはわかったのですが、 (2)の求め方が解説を読んでも理解できません(汗 答えは1/4+√3/2≦a<5/4 になるそうです。 どういう風に解けばよいのかがわかりません。 教えて下さい!!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数・方程式
度々質問すみません。 高2なりたての者です。 三角方程式(関数?)の問題です。 0°≦ x ≦360°のとき y=sinxとy=2cos3xのグラフより、方程式sinx=2cos3xは ■個の解を持つことがわかる。 この■に当てはまるのを答える問題なのですが、 意味がよくわかりません; y=sinxとy=2cos3xのグラフを書いて 交わるところが解なのでしょうか? この問題に関係している前の部分の問題では y=2cos3xの周期のうち正で最小のものは■°である。 0°≦ x ≦360°のときy=2cos3xにおいてy=2となるxは■個、 y=-2となるxは■個ある。 という問題があります。 この3つは (1)2π×1/3=2π/3=120° (2)4個(グラフを書いて求めました) (3)3個(グラフを書いて求めました) と解けたのですが、 sinx=2cos3xのときの解の個数というのが よく意味がわかりません; 考え方やアドバイスをいただけると嬉しいです; 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の問題なのですが・・・
三角関数の問題なのですが・・・ cosα+cosβ=1/2,sinα+sinβ=1/3のとき、 (1)cos(α-β)の値を求めよ。 (2)cos2x+cos2y=2cos(x+y)cos(x-y) が成り立つことを示せ。 (3)cos(α+β)の値を求めよ。 加法定理を使うというのはわかるのですが、それをどう使えば値が出るのかわかりません。 解き方だけでも教えてください。お願いします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
roro02さん引き続きお答えしていただいてどうもありがとうございます。 >k=-2(1+√2)です。 と答えだけ書いても仕方ありませんが、空欄の形式とこの数字は一致していますか? はい!一致しております! >x=-√2やx=√2のときで、この場合はθはそれぞれ270°と90°に一つに定まります。 ちょっと待ってください。この場合、x=√2sin(θ+45°)なので、√2の場合をとって考えてみますと、x=√2のとき、sin(θ+45°)=1となることはわかるのですが、ここはθではなくθ+45ですよね?sinθ=1だったら、θはそれぞれ270°と90°に決まると思うのですが、θ+45の場合はちょっとわかりません。どういった順序で考えればすっきりするのでしょうか? ここから先のお話はとてもよくわかったので、ここさえクリアできれば安心なのですが。