物理の問題です

質問

問題です。
質量mの質点が滑らかな(x,y)平面上を運動している。この質点には位置のエネルギーがU(x,y)=k(x²＋y²)で表される力が働いている。
1．質点に働く力ベクトルＦを求め、原点からの質点の位置を示す位置ベクトルをｒとして運動方程式を記せ。

2．位置(a,0)において質点を静かに離した。速度が最大になる位置とそこでの速度の大きさｖを求めよ。

3．位置(a,b)において、質点に原点方向に大きさv₀の初速度を与えた。その後、質点の速度が0になる位置(x,y)を求めよ。

できれば詳しい回答をお願いします。

回答No.1

noname#224896 · ベストアンサー

１．∫Ｆ・dｒ＝-U(x,y)で表すことができる為、
質点にかかる力Ｆは、以下の通りとなる。
Ｆ＝(-∂U/∂x , -∂U/∂y)
＝(-k(2x+y²) , -k(x²+2y))（∵　U(x,y)=k(x²+y²)　）
|Ｆ|＝|k|√{(2x+y²)²+(x²+2y)²}

質点の運動方程式は、
m(d²ｒ/dt²) = Ｆ
と表せる。

ちなみに、k=0では常にU(x,y)=0となって質点は静止してしまい、
k<0では、力は、原点とは逆向きの方向に働く。
恐らく、問題の２及び３の題意から、k>0でなければならない。
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２．エネルギー保存の法則より、
(mv²)/2 + U(x,y) = U(a,0)....（１）
と表される。

速度vが最大になる為には、
即ち、式（１）の左辺の(mv²)/2が最大になる為には、
式（１）の右辺が定数であるので、
式（１）の左辺のU(x,y)が最小にならなければならない。
つまり、U(x,y)=0となる時、ｖが最大になる。

U(x,y)=k(x²+y²)=0を満たすのは、２変数x,y共に実数であり、
且つ、k>0である為、x=y=0の時である。
即ち、原点(0,0)に於いて速度ｖが最大になる。

U(x,y)=0の時、式（１）より、
(mv²)/2 = ka²
∴v=(a√(2k/m),0)であり、
　その大きさは、|v|=|a|√(2k/m)である。
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３．質点を位置(a,b)で原点方向に大きさv₀の初速度を与えると、
位置エネルギーがU(x,y)=k(a²+b²)で与えられる為、
常に問題１で求めた力を原点方向に受けながら、
|x|:|y|=|a|:|b|....（２）
という比で、質点は運動をする。

質点を位置(a,b)で質点を原点方向に大きさv₀の初速度を与えて放った時と
質点の速度が0となる時のエネルギーは保存されている為、

(mv₀²)/2 + U(a,b) = U(x,y)
即ち、(mv₀²)/2 + k(a²+b²) = k(x²+y²)...（３）
と表される。

（２）より、|y|=|bx/a|
即ち、y = bx/a...（４）
これを（３）に代入すると、

k(a²+b²)x²/a² = (mv₀²)/2 + k(a²+b²)

x² = a²√{(mv₀²)/2k(a²+b²) + 1}
x = a√{(mv₀²)/2k(a²+b²) + 1}
上の式と（４）より、
y = b√{(mv₀²)/2k(a²+b²) + 1}

∴求める位置(x,y)は、下記の通りである。
(x,y) = (a√{(mv₀²)/2k(a²+b²) + 1}, b√{(mv₀²)/2k(a²+b²) + 1})

お礼

1は出来たんですが、2から本当にわかんなくなっちゃっていたのですごく助かりました。
ありがとうございました。