力学

質問

１平面内を運動する質点に働く力の成分が、質点の座標を、ｘ，ｙとして
Ｘ＝ａｘｙ,Ｙ＝ｂｙ＾２
で与えられるとき、保存力かどうか調べよ。
また、ｘ軸上の（r,0)で与えられる点Aから、
円周ABCにそっていく場合と、弦AB'Cにそっていく場合とで、
この力の行う仕事を比較せよ。

という問題で

保存力ではないのは分かったのですが

どうゆうに計算をしたら答が

ＷABC=b-a/3・ｒ＾３
WAB'C=2ｂ－ａ／６・ｒ＾３

になるのか分かりません。

過程と途中式教えて欲しいです。

テスト前なのでお願いします。

回答No.1

ereserve67

A(r,0),C(0,r)を両端とするAからCへの

(1)円孤：x=rcosθ,y=rsinθ(0≦θ≦π/2)

(2)弦：x+y=r(0≦y≦r)

について力の線積分

W=∫_C(Xdx+Ydy) (C=(1)，(2)）

を行えばよいです．

WABC=W_(1)=∫_(1)(axydx/dθ+by^2dy/dθ)dθ

=∫_0^{π/2}{arcosθrsinθr(-sinθ)+br^2sin^2θrcosθ}dθ

=(b-a)r^3∫_0^{π/2}sin^2θcosθdθ

=(b-a)r^3∫_0^1sin^2θd(sinθ)=(b-a)r^3∫_0^1s^2ds

=(b-a)r^3[s^3/3]_0^1=(b-a)r^3/3

WAB'C=W_(2)=∫_(2){a(r-y)yd(r-y)+by^2dy}

=∫_0^r(-ary+ay^2+by^2)dy

=∫_0^r{-ary+(a+b)y^2}dy

=[-ary^2/2+(a+b)y^3/3]_0^r

=-ar^3/2+(a+b)r^3/3

={-3a+2(a+b)}r^3/6

=(-a+2b)r^3/6

保存力でないから経路に依存するということですね．