力学の問題です。

質問

次の文を読み、以下の問いに答えよ。
質量m1の質点P1、m2の質点P2が互いに力を及ぼしあいながらデカルト座標系(x,y)内を平面運動している場合を考える。この座標系は慣性系であるとする。P1とP2の位置をそれぞれ(x1,y1)及び(x2,y2)とし、P1とP2の距離をrとする。以下では、r≠0である場合に限ることにする。
(問題)位置エネルギーがV(r)=kr^2/2で与えられる場合を考える(kは正の定数)。時刻t=0でのP₁とP₂の位置がそれぞれ(x_0，0)及び(0，0)、速度がそれぞれ(0，v_0)及び(0，0)であったとしよう。ただし、x_0≠0，v_0≠0とする。
(1)相対運動の力学的エネルギーをμ，k、x_0，v_0の内から必要なものを用いて表せ。
(2)相対運動の角運動量をμ，k，x_0，v_0の内から必要なものを用いて表せ。
(3)時刻t>0におけるrの最大値と最小値を求めよ。
教えてください。途中計算もよろしくお願いします。

回答No.1

superkamecha · ベストアンサー

こんにちは。
あまり見慣れない問題なので、私もちょっと自信がないですが、、、一緒に考えてみます。
解いていくためのキーポイントは、
(1)ポテンシャルエネルギが２体の相対距離（ｒ）だけで定義されていますから、座標系をｍ２と共に”平行移動”する（ｒ、θ）座標で考えて差し支えないだろうこと。
(2)バネ型ポテンシャルなので、２体間にはｋｒなる引力のみが作用すること。
(3)初期状態のみで決まっている運動で、(相対）初速はθ方向のみであること。
ですね。いろいろと「式で証明」せよということなのでしょうが、、、基本となる運動方程式は、時間微分を「’」で表して、
径方向　；　ｒ”－ｒ・θ’＾２＝－μｒ　（μ＝ｋ／ｍ２　かな？）
周方向　；　ｒ・θ”＋２・ｒ’・θ’＝０
でしょうか。それで、周方向の式：両辺にｒをかけて時間積分すると、ｒ＾２・θ’＝一定　となるので、角運動量は保存されますね。→問２は角運動量＝x_0・v_0　が（未来永劫）保存されます。
次に、径方向の式は、両辺にｒ’をかけて時間積分し、初期条件を代入すれば、これが力学的エネルギの式になります。
（ｒ’＾２＋（ｒ・θ’）＾２）／２＝v_0＾２／２＋μ（x_0＾２－ｒ＾２）／２
ですね。左辺が運動エネルギ、右辺第二項がポテンシャルエネルギの変化量を表します。→問１（注；ｒ’＝０なのはｔ＝０のみである、という前提にて、この操作をしてます）

それで、この２体は、いわば「自然長がゼロのバネ」で引き寄せられているわけで、言ってみればお互いに「落下」するしかない訳ですし、初速は周方向成分しかありませんから、運動エネルギが位置エネルギに変化することはなく、位置エネルギ→運動エネルギの変化のみが起こります。
従って、ｒはｔ＝０が最大値（x_0）で、最小値は０でしょう。ただし、ｒ＝０となるのは、ｔ→∞のはずです。軌道の形は、きっとブラックホールに吸い込まれるような「渦巻き」ですね。

このくらいの回答でよろしいでしょうか。

お礼

ありがとうございました！