物理のバネの問題教えてください

質問

質点1と質点２が３つのバネでつながれている。
2つの質点はともに m 、3つのバネはともに自然長で l 、バネ定数は k である。
時刻ｔ＝０で質点は静止しているが、平行の位置からの変位は、x1（０）＝a、x2(０)＝bただし、0<a<bである。
質点1，2の運動は平行位置からの変位x1,x2で表す。（右向きが正）

（１）質点1、質点2の運動方程式は？
（２）ｙ１＝ｘ１+ｘ２、ｙ２＝ｘ１－ｘ２とする。ｙ１、ｙ２を満たす微分方程式は？
（３）ｙ１、ｙ２の角振動数をそれぞれω１、ω２としたとき、ω２/ω１も値は？
（４）ｙ１*ｙ２の方程式を解く
（５）ｘ１、ｘ２を求める

（１） mx1"=-kx1+k(x2-x1)
mx2"=-kx2-k(x2-x1) で正しいですか？
（２）(1)をｙ１、ｙ２を使い、表したらいいのですか？
（３）～（５）は分かりません。

解き方を教えてください。

　　　バネ定数k　質点1　　　　　　質点2　　　　　　　　
　　|―∨∨∨∨―●―∨∨∨∨―●―∨∨∨∨―|

回答No.2

SKJAXN · ベストアンサー

（１）左のバネは伸びている、中央のバネは左よりさらに伸びている、ただし右のバネは３つのバネ長の和が3Lという制約に縛られているため縮んでいると考えたのですね。運動方程式は、正しいです。

（２）運動方程式の第１式と第２式の和は、
　　　m*(x1"＋x2")＝－k*(x1＋x2)　となりますので、これをy1で表すと、
　　　m*y1"＝－k*y1　→（式1）
　　　また、第１式から第２式を引くと、
　　　m*(x1"－x2")＝－3*k*(x1－x2)　となりますので、これをy2で表すと、
　　　m*y2"＝－3*k*y2　→（式2）
　　　ここで（式1）を変形すると、y1"＝－k/m*y1
　　　（式2）を変形すると、y2"＝－3*k/m*y2
　　　となり、これらが求める微分方程式です。

（３）これらは単振動を表す微分方程式に帰着しましたので、角振動数ω1、ω2で表現すると、
　　　y1"＝－ω1^2*y1　→（式3）
　　　y2"＝－ω2^2*y2　→（式4）
　　　よって、ω2/ω1＝√3

（４）「y1*y2」は入力ミスで、「y1、y2」ではないでしょうか？
　　　そうであれば、（式3）の一般解は、定数A、Bを用いて、
　　　y1(t)＝A*cos(ω1*t)＋B*sin(ω1*t)　→（式5）
　　　と書け、y1(0)＝x1(0)＋x2(0)＝a＋b を（式5）に適用すると、
　　　y1(0)＝A*cos(0)＋B*sin(0)＝a＋b より、A＝a＋b
　　　また（式5）を微分すると、
　　　y1(t)'＝－A*ω1*sin(ω1*t)＋B*ω1*cos(ω1*t)　→（式6）
　　　t＝0において、２つの質点は静止しているため、y1(0)'＝0 を（式6）に適用すると、
　　　y1(0)'＝－A*ω1*sin(0)＋B*ω1*cos(0)＝0 より、B＝0
　　　すなわち（式3）の解は、
　　　y1(t)＝(a＋b)*cos(ω1*t)＝(a＋b)*cos(√(k/m)*t)
　　　y2についても同様に解くと、（式4）の解は、
　　　y2(t)＝(a－b)*cos(ω2*t)＝(a－b)*cos(√(3*k/m)*t)

（５）x1(t)＝1/2*(y1(t)＋y2(t)) より、
　　　x1(t)＝1/2*((a＋b)*cos(√(k/m)*t)＋(a－b)*cos(√(3*k/m)*t))
　　　x2(t)＝1/2*(y1(t)－y2(t)) より、
　　　x2(t)＝1/2*((a＋b)*cos(√(k/m)*t)－(a－b)*cos(√(3*k/m)*t))
　　　です。

ご理解いただけたでしょうか？

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。

回答No.1

Ae610

初期条件はx1(0) = a , x2(0) = bだけ・・?
(夫々2つの振幅情報と位相情報が表れてくるので、あと2個の初期条件が必要なように思うのだが!?)

（１）"を時間微分を表すものとして、質点1、質点2の運動方程式は・・・(右向きを正として）
mx1" = -kx1＋k(x2-x1)・・・(1)
mx2" = -kx2－k(x2-x1)・・・(2)
・・・で正しい

（２）(1)＋(2)および(1)－(2)を作ればよい

（３）(ω１)^2 = k/m , (ω２)^2 = 3k/m・・・として単にω２/ω１を計算するだけ

（４）ｙ1*ｙ2の方程式を解く・・??
設問の意味が理解できないのだが、（２）によってy1とy2に関する各々独立な微分方程式が出来るので独立にy1 , y2が求められる

（５）（４）から連立方程式を解く要領でX1とX2が求められる

・・・と思う!
(初期条件が(2個!?)足りないのでこのままだと任意常数が(2個!?)残ってしまう)

お礼

すぐに解説していただき、ありがとうございました。