物理の問題でわからないものがあります。

質問

「滑らかな水平面上で質量m1とm2の二つのおもりをバネ定数ｋのバネでつなぎ、静止した状態からばねの伸縮方向に一次元的に振動させる。この時の振動の周期として妥当なものはどれか。。ただし、おもりは質点とみなすことができ、釣り合いの位置でばねは自然の長さにあるものとする。なお、質量m1のおもりと質量m2のおもりの釣り合いの位置からの右向きの変位をそれぞれx1、x2とすると、二つのおもりの重心が動かないのでm1x1＋m2x2=０が成り立つ」で答えが2π√（m1m2/k(m1＋m2)）なのですが解説がなくて困っています。運動方程式かと思ったのですが、うまくいきません。どなたか解き方を教えてください。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

いくつか方法があります。

（１）運動方程式による（「'」は時間微分）

m1x1'' = k ( x2 - x1 )　∴x1'' = k/m1 ( x2 - x1 )
m2x2'' = k ( x1 - x2 )　∴x2'' = k/m2 ( x1 - x2 )

辺々引いて

x1'' - x2'' = - k ( 1/m1 + 1/m2 )( x1 - x2 )

得られた結果は，相対運動の方程式であり，

1/μ = 1/m1 + 1/m2

で与えられるμは換算質量と呼ばれます。
上記を相対座標x1-x2の運動方程式と見れば，振動の周期

T = 2π√(μ/k ) = 2π√{ m1m2/k(m1＋m2) }

を得ます。

（２）エネルギー保存

1/2 m1x1'^2 + 1/2 m2x2'^2 + 1/2 k(x1-x2)^2 = 一定

運動エネルギー部分は，重心運動と相対運動に分けることができます。

1/2 (m1+m2) xG'^2 + 1/2 μ(x1'-x2')^2 + 1/2 k(x1-x2)^2 = 一定

ここで，m1x1+m2x2=0を用いると　xG=0　となるので，

1/2 μ(x1'-x2')^2 + 1/2 k(x1-x2)^2 = 一定

これを単振動のエネルギー保存と見れば，（１）と同じ結果を得ます。

（３）重心位置でばねを分割する

重心は動かないので，運動はばねを重心位置で固定したものに等しくなります。ばねをm2：m1に分割して考えると，m1の運動方程式はばね定数が(m1+m2)/m2×kとなるので

m1x1'' = -(m1+m2)/m2 kx1

これをx1の単振動の方程式と見れば，その周期を得ます。x2についても同様の結果が得られます。

重心の座標は，

xG = (m1x1+m2x2)/(m1+m2) = 0

といっているので，（３）が問題文に沿う最も初歩的な解法といえるでしょう。

お礼

とてもわかりやすい回答ありがとうございました。理解できました！