物理の問題.6

質問

物理の問題6

図に示すような状態で、M2とMの間に摩擦はないものとします。ひもは伸びず、質量は無視でき、重力加速度はgとします。
Mを水平面上 に固定せず、なめらかに動けるようにして、M2から手を離した。M1が水平面上に達するまでの間にMが動く向き、および距離xを求めよ。

この問題で、M,M1,M2からなる系全体に対して、水平方向に外力は働かないため、水平方向に重心は移動しないことがわかります。
これを利用したいと思います。
初め、Mの重心を原点にとり、水平右向きにx軸をとるとします。
M1,M2の重心のx座標をそれぞれ、x1,x2とすると、x(g)={(M1)x1+(M2)x2}/(M+M1+M2)となります。
次にM1がhだけ下降したときMが左向きにxだけ移動したとすると、M2は床に対してh-xだけ動き……
ここからまた、重心のx座標を求めて、先ほどの式と等しいことから答えを出しています。

ここで疑問なのがなぜM2が右向きにM,M1に等しい距離だけ動くかということです。
確かにM2は運動量保存則の観点からいって右向きに動かなければならないわけですが、だからといって-xだけ右向きに動くわけではないのではないでしょうか。
なぜなら、M,M1が左向きに動くことからM2も右向きに動くわけですが、質量が違うわけですよね。
だとすれば、速さも異なってくるのですから距離が等しいとは限らないのでは？

この部分がわからず悩んでいます。
もしわかる方がいらっしゃいましたら教えていただけると助かります。
よろしくお願い致します。

回答No.8

yokkun831 · ベストアンサー

>最初、M2が右向きにMが左向きに移動することから、糸はたるむのではないかと考えていましたが、M1が下降することから張った状態を保つということですよね。

この運動全般の原動力は重力です。M1の重力による位置エネルギーが全体の運動エネルギーに変わる過程といえます。糸の張力はこの場合重力の存在によって二次的に生じた力であり、その大きさは運動状態によって変わりますね？もちろん、一般には運動状態や他の力の存在によって張力がゼロになり、糸がたるむこともありえます。しかし、この問題の場合はそうならないことは、計算してみればわかります。他に系の運動への強制力がないので直感的にも糸がたるまないだろうということが推定できます。３つの物体の慣性が重力に抗しているわけなので、重力を推進力として仲介する張力は負になれないのです。

>この原因に張った状態の糸が何かしら影響を及ぼしていることは明らかです。
しかし、M2が右に引っ張られ、Mが左に引っ張られることから、Mが動かないときにM2が受ける張力に比べてMが動くときのほうがM2が受ける張力は弱くなる。
これがM2の移動距離が床に対してhから減少する理由ですか？
Mで見るとそれに等しい慣性力がM2に働くから距離はhなのですか？

その通りです。h=1/2・αt^2に対して、h-x=1/2・(α-β)t^2ということです。Mとともに動く立場で考えると、慣性力M2βが張力と同じ方向に生じています。
張力や抗力といった運動の方向や物体間の位置関係を拘束する力は、物体の運動状態によって変わり得る力です。糸がほとんど伸びずに物体間の位置関係を保っているという結果は、張力が自動的に位置関係を保つように調節されると考えることもできるでしょう。

お礼

本当にありがとうございました。

回答No.7

yokkun831

立場の乗換えがうまくできていないようですね。
この問題の場合，運動の経路はM上で見た方がわかりやすいようです。
全運動の経過時間をtとします。

Mから見た立場
M1はαの下向き加速度で運動して，ｈ=1/2・αt^2だけ下に進む。
　運動方程式　M1α = M1g - T　（下向き）
　　　　　　　0 = M1β - N　　（右向き，つりあい）
M2はαの右向き加速度で運動して，ｈ=1/2・αt^2だけ右に進む。
　運動方程式　M2α = T + M2β　（右向き）
Mは静止。ただし，床がx=1/2・βt^2だけ右に進む。
　運動方程式　0 = T - N - Mβ（左向き，つりあい）

でも，床から見た立場にも立てるようにしましょう。

床から見た立場
M1は下向きα，左向きβの加速度で運動して，h=1/2・αt^2だけ下，x=1/2・βt^2だけ左に進む。
　運動方程式　M1α = M1g - T　（下向き）
　　　　　　　M1β = N　　　　（左向き）
M2は右向きα-βの加速度でh-x=1/2・(α-β)t^2だけ右に進む。
　運動方程式　M2(α-β) = T
Mは左向きβの加速度で，x=1/2・βt^2だけ進む。
　運動方程式　Mβ = T - N

以上の通り，見る立場が変わっても，もちろん成立する式は同じです。

ちなみに床から見たM1の運動は，tanθ=β/αなる角θだけ鉛直下方から左に傾いた方向に，加速度√(α^2+β^2)で距離√(h^2+x^2)だけ進むのです。

補足

ありがとうございます。
運動方程式の成り立ちなどもわかってきました。

少し前の話になりますが、私がなぜM2の式にxが表れるのかがわからないと質問させていただいたとき,yokkun様はM2がMに対してh動くからxというものが入ってくる。
M2の床に対する変位をXとすればよいが、結局糸で繋がれているという拘束は変わらないからX+x=hとなると教えていただきましたが,理解できないのがこの式です。

糸があることによって何がどうなるのかを是非とも教えていただきたいです。

最初、M2が右向きにMが左向きに移動することから、糸はたるむのではないかと考えていましたが、M1が下降することから張った状態を保つということですよね。
床に対してM2が右向きにX,床に対してMが左向きにx動いたとき、M2がMに対して動いた距離はX+xで表すことができることはわかります。しかし、なぜこれがhと等しいのかがわかりません。
例えば、話を簡単にするためにM1はなく、M2とMは滑車で糸によって繋がれているとします。条件はすべて同じとします。
この問題を以下問題Bと呼び、本来の問題を問題Aと表記します。

問題Bで、Mにのみ左向きに速さを与えても、M2は右には動きませんよね。
M2にのみ右向きに速さを与えてもMは動きません。
なぜなら張力も摩擦も働かないですから。

そして右向きにM2を、左向きにMを動かし、M2がMに対して右向きにX,Mが左向きに床に対してxだけ移動した場合、M2は床に対してX+x移動しますよね。
問題Aの場合、問題Bとは2つ大きく異なる点があります。
1つはM1がないということ。もう1つは糸が張ったままで運動するのかたるむのかということでしょう。問題Bの場合、糸は明らかにたるむと思います。

問題AでM1がh落下することから、M2も必ずhだけMの上を移動するわけです。ここはわかります。
しかし、床に対してはhではないということですが、問題Bの場合は床に対しても成立しますよね。
この原因に張った状態の糸が何かしら影響を及ぼしていることは明らかです。
しかし、M2が右に引っ張られ、Mが左に引っ張られることから、Mが動かないときにM2が受ける張力に比べてMが動くときのほうがM2が受ける張力は弱くなる。
これがM2の移動距離が床に対してhから減少する理由ですか？
Mで見るとそれに等しい慣性力がM2に働くから距離はhなのですか？

回答No.6

yokkun831

>物体Bが右向きに速さvで動いた場合、物体Aは静止状態を保ち続けるのでしょうか？

水平方向に及ぼし合う力がないのだから、Aは動けませんね？

>物体Bが右向きに速さv,物体Aが左向きに速さVで動く場合、時間tの間に物体Bの床に対する変位をxとすれば物体Bは右向きにvt,物体Aは左向きにVt進むのですから、x=(v-V)tということになるのでしょうか？

vがBのAに対する速さ（相対速さ）であるならばそういうことになります。相対的な運動の記述に対する理解に困難があるようですね。
前の私の設定では、
M2のMに対する相対変位　y,　Mの床に対する変位　-Y,　M2の床に対する変位　y-Y
M2のMに対する相対速度　v=dy/dt,　Mの床に対する速度　-V=-dY/dt,　M2の床に対する速度　v-V=d(y-Y)/dt
M2のMに対する相対加速度　α=dv/dt,　Mの床に対する加速度　-β=-dV/dt,　M2の床に対する加速度　α-β=d(v-V)/dt
となります。vは相対速度、αは相対加速度であることに注意してください。

ちなみに、Mの上で見たM2の運動方程式は
M2α = T + M2β
となりますね？　M2βはMが加速度-βで運動しているために生じる慣性力ということになります。

補足

ありがとうございます。
わかりやすい説明のおかげで私の考え違いに気付くことができたかも知れません。

つまりM1がhだけ下降によってM2も床に対してh進むものだと思っていました。
しかしM2はMに対してh進む。そしてMが床に対して左向きにx進むと考えればM2は床に対してh-xとなることは理解することができます。
しかし、私はどうもこの考え方に至る過程がわかりません…。
なぜM2においてhが床に対する変位として捉えることができないのでしょうか。
例えば、M2がh動いている最中にMが左にxだけ進む。
つまりMの上でM2を観測した場合、解答によるとその変位はhとなるわけですよね。
しかし、私はh+xとなるという考えが未だに捨てることができません。
確かに張力がMに働きますが、それによってM2の床に対する変位に影響はあるのでしょうか？

どのように考えていけば、この問題でhがMに対する変位、αがMに対する加速度だと捉えることができるのでしょうか？

回答No.5

yokkun831

>M2の加速度がなぜα-βになるのか、ということです。

M2のMに対する移動距離yとすれば，αはMに対する右向き加速度ですから
α = dy/dt
また，Mの床に対する移動距離Yとすれば，βはMの床に対する左向き加速度ですから
β = dY/dt
となります。
M2のMに対する変位がy，Mの床に対する変位が-Yですから，
M2の床に対する変位は，y-Yになります。
すると，M2の床に対する加速度はd(y-Y)/dt=α-β となりますよね？

>なぜこのM,M1にのみ関係するはず(自分の中では)のxがM2に関する式に表れるのかがわからないのです。

それは，伸びない糸によってつながれているという拘束条件があるからです。M2のMに対する移動距離がy=hという拘束があるために，M2の床に対する移動距離がy-Y=h-xとなるわけです。はじめから床に対する移動距離で考えるのならxは出てきません。Mに対する移動距離hを使った副作用としてxが入り込んだのです。
たとえば，床に対するM2の移動距離をXとおいてもよかったのです。ところが，糸でつながれているという拘束条件は変わりませんから，今度はX+x=hとしてそれを用いることになるわけです。X=h-xとなり，結局同じことです。

>つまりM1とM2の加速度が違うというわけですよね。

もちろん，M1のMに対する右向き加速度とM2の下向き加速度は同じです。M1とM2の質量が違うのですから，力が等しくないのは当然ですね？伸びない糸でつながれているという拘束条件によって，両者の加速度が同じになるように張力の大きさが調節されるわけです。

補足

ありがとうございます。

つまり、例えば床の上に物体A,物体Aの上に物体Bがあったとします。摩擦は働かないものとしてください。物体Aは十分長く、物体Bが物体Aから落ちることはないものとします。

このとき、物体Bが右向きに速さvで動いた場合、物体Aは静止状態を保ち続けるのでしょうか？

また、物体Bが右向きに速さv,物体Aが左向きに速さVで動く場合、時間tの間に物体Bの床に対する変位をxとすれば物体Bは右向きにvt,物体Aは左向きにVt進むのですから、x=(v-V)tということになるのでしょうか？

私ならx=vtと答えていますが…。

回答No.4

yokkun831

>Mが左へx進めば、それに伴ってM1が左へxだけ進むことはわかりますが、M2が床に対してh-xとなるのがよくわかりません。

ちゃんと図を描いて考えられましたか？　糸が伸びない以上，M2が床に対してh-x動くのは避けられない事実です。

>MとM2の間には摩擦はないわけですよね？つまりMが左へ動いたとしても、それを床からみた場合M2が静止しているように観測されるはずです。

摩擦はありませんが，糸の張力があります。M2は糸から右へ引かれ，滑車のところでMが糸から左へ引かれているわけですよ。なぜ水平方向に力があるのに，「摩擦がないから床からみて静止」などといえるのですか？しっかり力を見極めることができないと，力を意識しなくともよい運動量保存やエネルギー保存においても戸惑うことになるのです。
「摩擦がないから床からみて静止」しているのは，系全体の重心なのです。それをこの場合用いているのですよね？重心の等速度運動は系の運動量保存と同値です。

補足

回答をありがとうございます。
確かに運動方程式で解くこともできるようですね。
鉛直下向きの加速度をα,水平左向きの加速度をβとすると
M1:N=(M1)β,(M1)g-T=(M1)α
M2:T=(M2)(α-β)
M:T-N=Mβ
h=αt^2/2より、x=βt^2/2=βh/α

これより答えを求めるのですよね。

運動方程式にしても、重心を利用して解くにしても私は同様な疑問があるのです。
M2の加速度がなぜα-βになるのか、ということです。
Mが左に動くのはわかるのですが、その滑車と物体間での張力が運動にどのような影響を与えるかが明確に理解できていないため、このような疑問が生まれるのだと思いますが、確かにMは滑車から左向きに張力を受けていることはわかります。そしてM2も張力を右向きに受けています。
M1とM2の加速度がαとして成り立つのはわかります。M1が糸を介してM2を引っ張るのですから。
ここでM2が動き、重心が右にずれるのですから当然Mは左向きに動くこともわかります。これはMが左向きに張力を受けることからも明らかですよね。なぜならMに右向きに働く力はないのですから。

だから、Mが左向きにxだけ移動したと考えられる。ここまではわかります。
このxはM2が動く距離に対して、重心が動かないようにMが動いたと考えることができますよね。
しかし、なぜこのM,M1にのみ関係するはず(自分の中では)のxがM2に関する式に表れるのかがわからないのです。

(例えば簡単な話で、質量Mの物体の上に質量mの物体が乗っていて、摩擦がない場合はMが加速度aで右向きに動いたとしてもmは床に対して動きませんよね。)
こう考えればM2の加速度がなぜα-βのでしょう。

糸があることによってこの考えが通らないことはわかっていますが、なぜ通らないのでしょう…。

それにM1が下降するのは、重力が張力より力が大きいからですよね。
重力≠張力
つまりM1には鉛直に(M1)g-Tという力が働く。これはM2にも働く力ではないのですか？
運動方程式ではM2に働く力が張力のみになってしまいますが…。
つまりM1とM2の加速度が違うというわけですよね。
M1はM2を引っ張るはずなのに加速度が違うというのもなんだかよくわかりません…。

回答No.3

yokkun831

>MとM1は互いに離れない構造で、かつM1は上下になめらかに動くことができるとあります。

なるほど。これは省略できない条件でしたね。でも説明でつけくわえるところは特にありません。

前後の図でも描いてよく考えてください。
M1がMの右端にそってh下がると，M2はMに対してhだけ右に動きます。
その間にMが左へxだけ動いたと置いたのですよね？
するとM2が床に対して動く距離は，右向き正としてh-xとなります。

補足

回答をありがとうございます。
私はどうしても納得のいく部分があります。
解答には、Mのみの重心を原点にとり、水平方向右向きにx軸をとるとする。また、このはじめの状態でのM1,M2の重心のx座標をそれぞれx1,x2とすると、系全体の重心のはじめの状態におけるx座標x(g)は
x(g)={(M1)x1+(M2)x2}/M+M1+M2

次にM1がhだけ下降したときMが左向きにxだけ移動したとすると、M2は床に対してh-xだけ右向きに移動する。よってこのときの系全体の重心のx座標x(g')={M・(-x)+M1(x1-x)+M2(x2+h-x)}/(M+M1+M2)
x(g)=x(g')より…となっています。

x(g')の式では全てに-xがありますよね。
つまりこれは、はじめのMの重心の位置を0(x軸)としたわけですがから、-xということは左に進んだということですよね？
この考えが正しいとすれば、M2も左へx進んだということになりますよね？
Mが左へx進めば、それに伴ってM1が左へxだけ進むことはわかりますが、M2が床に対してh-xとなるのがよくわかりません。
それに、仮に床に対してh-xが成立するとしても、MとM2の間には摩擦はないわけですよね？つまりMが左へ動いたとしても、それを床からみた場合M2が静止しているように観測されるはずです。
ということは、M2の変位は結局hでMは左へx移動するとなりませんか？
また、この解答で使われているxとは正ですか負ですか？
負ならば-xが正、正ならば-xが負となりますが…。

回答No.2

yokkun831

>速さも異なってくるのですから距離が等しいとは限らないのでは？

どこにも距離が等しいとは書いてないですよね？
M2がMの上でｈだけ右に動き，Mが左へｘ動けば，M2は床に対してｈ－ｘ動くでしょうといっているのです。でも，この解説はおかしくないですか？M1はMから離れて糸はななめになり，M1の落下距離はｈにならないはずです。この点について何か補足がありますでしょうか？

補足

申し訳ありません。問題文には条件として、MとM1は互いに離れない構造で、かつM1は上下になめらかに動くことができるとあります。また、ひもは伸びません。

このことでまた話が変わってくるのならば、再度教えていただけると助かります。
よろしくお願い致します。

回答No.1

noname#175206

これは物理の問題です。物理の基本言語である数式で語ってください。つまり、最初に立てた式をすべて書き出してみてください（記号が何を表すかは日本語で^^;）。さすれば良い回答もつくでしょう。