ばね乗数kと2kのばねによる物理的単振動について
- 物理的単振動問題において、ばね乗数kと2kのばねを用いる場合について説明します。
- 振動の中心は原点0で、振幅はL0となります。
- また、振幅はmg sin θ/3kで、中心は原点となります。
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物理単振動の問題について
赤いぐにゃぐにゃ：ばね乗数kのばね 黒いぐにゅぐにゅ：ばね乗数2kのばね 丸は、質量mのおもりで、手書きのxの方向を正とします。 左の図では、上向き矢印の角度をθとします。 手書きの0の部分は原点をあらわす記号です、また摩擦はないとします。gは重力加速度です さて、右の図で、ばねは双方ともに自然長です。次にx = L0の位置ではなして単振動させます。 原点から変位をｘとすれば、 ma = -3kx ⇔ a = (-3k/m) {x - 0 } より、振動の中心は、原点0で、振幅はL0だと思います。 これはわかります。次に右のほうです。 まず、右の棒をθ傾けて、左のようにしてつりあいの位置で静止しています（本当の図は三角形ではなくて、長方形です、斜めの長方形が描写できませんでした） （つまり右と左の原点の位置は違う、つりあいの位置で新たに原点にします） ここで、左の図のおもりを、ばねが自然長になるように、移動させます。 つまり、x = mg sin θ/3kの位置まで持ってくることだと思います（図でいうと青い線の部分） ここで運動方程式を立てると、原点からの変位をxとすると、 ma = -mg sinθ - 3k x ⇔ a = -(3k/m) { x + mg sin θ/3k}より、振動の中心は、- mg sin θ/3k （図の赤い線の部分）で、振幅は、赤と青の線のAの長さになるのではないのですか？ 答えは振幅はmg sin θ/3kで、中心は原点となっていました。上記のように式変形をしたのに、なぜ原点が0になるのですか？
- nag_hoge
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＞ここで運動方程式を立てると、原点からの変位をxとすると、 ＞ma = -mg sinθ - 3k x これが間違っています。バネの力は伸びに比例するわけですが、伸びというのは自然長からの変化分なので原点0にある状態で上のバネはmg sin θ/3kだけ伸び、下のバネはmg sin θ/3kだけ縮んでいます。つまり、原点0からxだけ変位すると 上のバネの伸び = mg sin θ/3k - x 下のバネの伸び = -mg sin θ/3k + x バネの力は大きさが『(バネ定数)×(伸び)』で、上のバネは伸びた時に上向きに力が働き、下のバネは伸びた時に下向きに力が働くことを考慮すると 上のバネの力 = 2k (mg sin θ/3k - x) = 2mgsin θ/3 - 2kx 下のバネの力 = -k (-mg sin θ/3k + x) = mg sin θ/3 -kx となり、合力は バネの合力 = 上のバネの力 + 下のバネの力 = mg sin θ - 3kx この他に重力の寄与もくわえて運動方程式は ma = -mg sinθ + ( mg sin θ - 3kx) = -3kx となり、x=0を中心に振動します。
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