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単振動の解

自然の長さl, ばね定数k のばねの下端に質量mの質点をつるす。上端を鉛直方向に動かし、変位がacosωtとなる振動を与える。運動方程式の解を求めよ。ただし、ω≠√(k/m) とする。 という問題で、鉛直方向に動かしている時の質点の自然長からの変位をxとすると、 mx''=-kx + mg となるので 解は、 x=Acos(ω0t+α) + mg/k だと思ったのですが、 答えは x=Acos(ω0t+α) +{aω0^2cosωt/(ω0^2 - ω^2)} + l + (mg/k) となっていました。 変位を acosωt にするということが関係すると思うのですが、どう扱えば良いのかよく分かりません。 なぜこうなるのでしょうか?

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  • 回答No.3

下向きにx座標を取り、時刻tでの質点の位置をx(t)、バネ上端の位置をx0(t)とすると、 時刻tでのバネの伸びはx(t)-x0(t)-l。したがって、運動方程式は mx'' = -k[ x(t)-x0(t)-l ] + mg = -kx(t) + kx0(t) + k(l + mg/k) x0(t)がacosωtなので x'' + (k/m) [ x(t) - (l+mg/k) ] = (k/m) a cosωt x'' + ω0^2 [ x(t) - (l+mg/k) ] = aω0^2 cosωt 要するにただの単振動ではなく強制振動です。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2

xが自然長からの伸びとしているため、質点の加速度はx''とならないからです。 上端が振動している、つまり加速度を持つため伸びの2階微分以外にも加速度に寄与する項があるのです。 ここで上端の位置をy,自然長をL,質点の位置をz,伸びをxとしましょう。 下向きを正ととると運動方程式は z''=-kx+mg となります。x''ではない点に注意すること。 ここで z=y+L+x ですのでこれを運動方程式に代入すると z''=-k(z-y-L)+mg となります。これが質点の座標zが満たす方程式になります。

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  • 回答No.1

加速度の考慮を失念しているから

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質問者からのお礼

なるほど。 考え直してみます。ありがとうございました。

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