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単振動(バネ)

鉛直上向きにy軸をとり、重力加速度の大きさをgとする。ばね定数kのばねの上端を固定し、下端に質量mの物体をつける。ばねが自然長であるときの物体の位置をy=0とする。ばねの質量、空気抵抗は無視できる。物体は鉛直方向のみ運動する。 1、物体の運動方程式を求めよ 2、つりあいの位置y_eを求めよ 3、つりあいの位置からの変位をy_2(t) = y(t) - y_eとする。y_2に関する運動方程式を求めよ 4、運動方程式を解いて、位置y(t)と、v(t) = y '(t)の一般解を求めよ 5、時刻t= 0にy = y_0 の位置で静かに物体を放した(v (0) = 0 )とする。その後の運動y(t),v(t)を求めよ y_eはyの右下に小さいeがあるという意味 よろしくお願いします

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(1) my'' = -mg - ky (2) -ky_e = mg  y_e = -mg/k (3) y_2 = y - y_e  y = y_2 + y_e  これを、my'' = -mg - kyに代入すると、  m(y_2 + y_e)'' = -mg - k(y_2 + y_e)  my_2'' = -ky_2 - (mg + ky_e)  my_2''= -ky_2   ← (2)より mg + ky_e = 0 (4) my_2''= -ky_2の解は  y_2 = c1・cos(ωt) + c2・sin(ωt)  y = y_2 + y_e = c1・cos(ωt) + c2・sin(ωt) + y_e  v = y' = -c1・ω・sin(ωt) + c2・ω・cos(ωt) ここで、  ω = √(k/m) (5) y_0 = c1・cos(0) + c2・sin(0) + ye = c1 + y_e  →  c1 = y_0 - y_e  v(0) = -c1・ω・sin(0) + c2・ω・cos(0) = c2・ω = 0  → c2 = 0 よって、  y = (y_0-y_e)cos(ωt) + y_e  y_e = -mg/kだから  y = (y_0+mg/k)cos(ωt) - mg/k かな。

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