単振動（バネ）

質問

鉛直上向きにy軸をとり、重力加速度の大きさをgとする。ばね定数kのばねの上端を固定し、下端に質量mの物体をつける。ばねが自然長であるときの物体の位置をy=0とする。ばねの質量、空気抵抗は無視できる。物体は鉛直方向のみ運動する。

1、物体の運動方程式を求めよ
2、つりあいの位置y_eを求めよ
3、つりあいの位置からの変位をy_2(t) = y(t) - y_eとする。y_2に関する運動方程式を求めよ
4、運動方程式を解いて、位置y(t)と、v(t) = y '(t)の一般解を求めよ
5、時刻t= 0にy = y_0　の位置で静かに物体を放した（v (0) = 0 )とする。その後の運動y(t),v(t)を求めよ

y_eはyの右下に小さいeがあるという意味

よろしくお願いします

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

（１）　my'' = -mg - ky

(2)　-ky_e = mg
　y_e = -mg/k

(3) y_2 = y - y_e
　y = y_2 + y_e
　これを、my'' = -mg - kyに代入すると、
　m(y_2 + y_e)'' = -mg - k(y_2 + y_e)
　my_2'' = -ky_2 - (mg + ky_e)
　my_2''= -ky_2　　　←　(2)より mg + ky_e = 0

（４） my_2''= -ky_2の解は
　y_2 = c1・cos(ωt) + c2・sin(ωt)
　y = y_2 + y_e = c1・cos(ωt) + c2・sin(ωt) + y_e
　v = y' = -c1・ω・sin(ωt) + c2・ω・cos(ωt)
ここで、
　ω = √(k/m)

（５） y_0 = c1・cos(0) + c2・sin(0) + ye = c1 + y_e　　→ 　c1 = y_0 - y_e
　v(0) = -c1・ω・sin(0) + c2・ω・cos(0) = c2・ω = 0　　→　c2 = 0
よって、
　y = (y_0-y_e)cos(ωt) + y_e
　y_e = -mg/kだから
　y = (y_0+mg/k)cos(ωt) - mg/k

かな。