物体に摩擦力が働く調和振動

質問

<<問題>>
水平な床の上を、ばね定数kのばねで繋がれた質量mの物体が運動する場合を考える。ばねの自然の長さからの変位をxとし、x軸を右方向が正となるように選ぶことにする。時刻t＝0においてx=X（X≧０）で静かに手を離す場合の物体の運動について、次の問いに答えなさい。動摩擦係数をμ 重力加速度をgとする。

摩擦力が働いている場合、運動方程式は非同次方程式となる。その特別解をx=Aの形に仮定し,xが解となるようにAをμ,g,m,kで表しなさい。

<<解法>>
摩擦力が０の場合の一般解を求めて、それを摩擦力≠０の時の運動方程式に代入していくと
　2
mω (Acosωt＋Bsinωt)＝-k(Acosωt＋Bsinωt)＋F

ここまでは分かるのですが、ここからどのようにして
Aを表していけばいいかがわかりません。
お願いします。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

遠い昔にやったことなので、あまり自信はありませんが。
質問者がうまくいかなかった理由はたぶん、斉次方程式（特性方程式）の一般解を求めて、その解を非斉次方程式に代入しようとしたからだと思います。非斉次方程式の方程式の特殊解は、一般解とは別に解かなければなりません。

まず、最初に、微分方程式を立てることから始めます。
たぶん、
(D^2+k/m)x＝μｇ　（１）　　
となると思います。これは、非斉次の方程式です。
ただし、Ｄ＾２＝d^2/dt^2　となる演算子です。
Ａを求めるには、（１）の特別解を求めればよいと思います。やりかたは演算子方が便利だと思います。計算すると、特別解は
ｘ＝Ａ＝μｍｇ/k
となります。
次に、（１）の右辺を０とおいて、
(D^2+k/m)x＝０　　（２）
の一般解を求めます。
これを解くと、
ｘ＝Ｂcosωt+Ｃsinωt+μｍｇ/k
となります。ただし、ω＝√(k/m)
あとは、初期条件を代入し、定数Ｂ，Ｃをもとめればできます。
最終的な解は
ｘ＝(Ｘ-μｍｇ/k)cos√(k/m)t+μｍｇ/k
となると思います。（たぶん）

回答No.3

ojisan7

すみません。その後、dx/dt>0　の場合を接続してみたら、
（この場合摩擦力の符号が変わります）振幅は確かに、減衰するようです。
ただ一つ、気になるのは、物体が引き返す瞬間は物体の速度は０となるので、その場合、静止摩擦係数を使わなければなりません、そのとき、物体にかかる力が最大静止摩擦力を超えていないと物体は動きません。

回答No.2

ojisan7

すみません。間違いました。手を離した後、
dx/dt<0
の場合しか解いていませんでした。
すみません。