振動力学の問題が分からないので教えてください

質問

図に示す位置Bの物体がxb=bsinωtとなる水平振動をしている。図中mは質点の質量cはダッシュポットの粘性減衰係数k1,k2はそれぞればね定数を表す。位置Aの質点は摩擦なしで水平運動することができる。

(1)この系の振動方程式を求めよ

(2)この系に減衰がないとした時の非減衰固有円振動数を求めよ

本当に分からなくて困っているので教えていただけると助かります。

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

No1を少し訂正。
　【誤】 F = k2
　【正】 F= k2・xb
ですね。

非減衰固有角振動数という言葉がどんな意味なのかよくわからないのだけど、
　mx'' + cx' + (k1+k2)x = 0
という微分方程式（運動方程式）の特性方程式は
　m・y^2 + c・y + (k1+k2) = 0
となり、二次方程式の解の公式より
　y = (-c ± √(c^2-4m・(k1+k2))/(2m)
となる。
よって、
　非減衰固有円振動数 = √(4m(k1+k2)-c^2)/2m
となるんですかね。
───c=0、 k2=0 の時、固有円振動数 = √(4mk1)/2m = √(k1/m)となり、バネのそれに一致する───

回答No.1

NemurinekoNya

こんにちは。

（２）は面倒なので、（１）だけ。

（１）物体Aの運動方程式を立てる。
物体Aの変位をxとする。すると、
　物体Aにかかる左向きの力　-k1x - cx'
　物体Aにかかる右向きの力　k2(xb-x)
なので、
　mx'' = -k1x - cx' + k2(xb-x) = -(k1+k2)x - cx' + k2・xb
で、xb=bsin(ωt)なので、
　mx'' = -(k1+k2)x - cx' + k2・bsin(ωt)
が、運動方程式となります。

（２）は、この微分方程式を解けばいい（ニコニコ）。
面倒そうなので、これを解く気になれない。

な～んて冷たいことは申しません。
振動学とかいう奴の教科書に
　mx'' = -Kx - cx' + Fsin(ωt)
の場合を解いた奴が出ているはず。
　K = k1 + k2
　F = k2
として、その式に代入すれば、答えが出てくるはず。