重心運動

質問

水平面xで質量m1,m2の質点の間にバネ定数k、自然長ｌのバネが結合され、原点Oから右にx1,x2の距離にm1,m2の質点が置かれている。
この二つのx面での運動に対する運動方程式はそれぞれ
m1(d^2x1/dt^2)=K(x2-x1-l)
m2(d^2x2/dt^2)=-k(x2-x1-l),
また重心Xgに対する運動方程式は
(m1+m2)(d^2Xg/dt^2)=0
だということは自分で解いたのですが、(1)この二つの質点の重心Xgがどのように表されるか、(2)また重心Xgはどのような運動をするか、(3)この二つの質点からなる系が振動した場合の振動に対する運動方程式が立てられません。これらのこと(特に(3))がいまいちよくわかりません。どうかよろしくお願いします。

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

(1)重心の位置は Xg = (m1 x1 + m2 x2)/(m1 + m2) です。
証明は、元々重心にあった一物体が分裂したとして運動量保存則でできます。

(2)すでにお書きのように、Xgをtで２回微分すれば0ですから、速度は変化しません。つまり等速直線運動です。速度は、この問題の情報からはわかりません。最初に両物体が静止していたというなら、重心はずっと静止です。

(3)Xa = x2 - x1 - l と置きます。Xaはバネの長さの自然長からのずれです。
二つの質点の運動方程式を使ってつぎのようにします。
d^2 Xa /dt^2 = d^2 x2/dt^2 - d^2 x1/dt^2
= -(k/m1)Xa - (k/m2)Xa = -[(m1 + m2)k/(m1 m2)]Xa
これで、おもりが１個の場合のバネの振動と同じ形に帰着します。

補足

早急な返答ありがとうございます。おかげでよくわかってきました。ところで(2)に関してなんですが、問題文の書き間違えで、「質点が置かれている」ではなく「質点が水平面ｘ上で運動している」でした。速度は与えられていません。この場合でも同様の運動を行うのでしょうか？

回答No.2

shkwta

1番の補足への回答です。
最初に質点が何らかの運動をしていたとすると、重心の運動と、振動の振幅にその影響があります。その場合でも、重心の運動が等速直線運動（静止を含む）であることは変わりません。

お礼

どうもありがとうございました。