受験の問題（数学）

質問

関数y=√3cosx-sinxについて、次の各問に答えなさい。ただし、0≦θ＜2πとする。

（1）y=rcos(x+α)と変形するとき、rとαの値を求めなさい。

（2）方程式√3cosx-sinx=1をときなさい。

この問題がわかりません。
とくに、y=rsin(x+α）ならわかるんですけど、rcos(x+α)のαの求め方がよくわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.6

kacchann

＃1です。

＞＃3さん。

わかってますヨ(^^)

・普通に考えれば、合成を使わなくても解けるのに
わざわざこれみよがしにcosバージョンの合成の話をした自分。
「どや。これが合成や。知っとけ」みたいなこと言っちゃった自分。

・じつは(1)で解が二つあることに気づいてなかった自分。
で、ばれるのもなんだし、それをはっきり書かなかった自分。

にションボリした感じです。
(お気遣いありがとうございます。おやさしい^^)

回答No.5

snaporaz

＃３です。

＃１，＃２＆＃４さん、すみません。「公式をこね回す」というのは回答の批判ではありませんよ。一般論です。

三角関数は頭に入れておくべき公式が多く、このあたりから脱落していくひとも多いようですが、要するに「グルグル回るもんだ」という概念を大切にしておけば、暗記しなくても創出できるものが多いということを言いたかったのです。それは＃１の回答でも触れられていることと同じです。

ただし、「これを見たらあれを思い出せ」などという頭のチャンネルつなぎ（一種の条件反射）は、訓練あるいは場数によるところが大きいでしょうね。わたしの場合は大昔、「くもん」で（誰も教えてはくれないので）我流でしたが、今なら塾や予備校の効能（効果的な刷り込み）も大きいのでしょう。それを「暗記」と言ってしまえばそうなのかもしれません。

そういった意味でインパクトのある教材は、今も昔も「大学への数学」（東京出版）の系列だと思います。一方で、高校生らしい、あるいは教科書的な「定石」にこだわった教材が「チャート式」です。

定石は定石で大切です。私がそれを好まなかっただけです。

回答No.4

kacchann

＃1です

＞No.3さん

とても勉強になりました^^
おそれいりました。

自分の能力のなさがかなしい・・・

回答No.3

snaporaz

Acosx-Bsinxの形を見ただけで加法定理を思い出せねばなりません。

y=rcos(x+α)=rcosα*conx-rsinα*sinx
より、rcosα=√3, rsinα=-1
両辺を二乗して足すと、r²(cos²α+sin²α)=4、カッコ内は1なので、r=±2、
場合分けして整理すると（途中省略）、(r, α)=(2,π/6),(-2,7π/6)　（解）

2cos(x+π/6)=1より
x+π/6=π/3, 5π/3
つまりx=π/6, 3π/2（解）
*もうひとつの組合せでも同じ結果です。

しかしこのxの二つの値を、もっと簡単にイメージできる解法もあります。

Acosx-Bsinxの形を見ただけで、こんどはベクトルの内積を思い出せねばなりません。
√3cosx-sinxは、【ベクトル(√3, -1)と(cosx, sinx)の内積】に相当します。

で、座標軸上では(√3, -1)は長さ2で右下向き角度 -π/6の線分またはベクトル、
(cosx, sinx)は半径1の円周上をぐるぐる回っている点です（cos²x+sin²x=1より）。

原点からこの二つの点に向かうベクトルの内積が1だと言っていて、円周上の点までのベクトルの長さは常に1なのだから、

答えは、「(√3,-1)から円x²+y²=1におろす接線のx座標」です。その接線は二本存在し、-π/6をはさんでπ/3ずつ上と下、つまりx=π/6, 3π/2ということになるのです。絵を描けばすぐにわかります。

三角関数は周期運動（円運動や波動）を表現、解析するために持ち込まれる概念なので、公式をこね回すよりイメージとして理解するほうが頭に入りやすい、と私は思います。

回答No.2

kacchann

cosバージョンの合成の仕方をしらなかったら、

まず
sinバージョンで合成して、
次にそれをcosに変換ですね。
sin(θ)=cos(90°-θ)とかやるやつね。

こんな単純なことも思いつかなかった・・・。
暗記数学に毒されてる(~~)

回答No.1

kacchann

三角関数の合成(sinバージョン)は
sinの加法定理を使います。
その導出法は、
絶対に理解し、覚えておいてください。
教科書参照ね。

三角関数の合成(cosバージョン)は、
cosの加法定理を使います。
考え方は同じ。
とだけ言えばわかるでしょ。

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