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高校 数学 至急！
関数y=sinx+cosx-2sinxcosx+3について。 （１）sinx+cosxをrsin(x+a)の形に表せ。ただし、r>0 -π<a<πとする。 （２）t=sinx+cosxとおくとき、yをtを用いて表せ。 ★（３）０<=x<=πにおけるyの最小値は？また、そのときのxの値は？ 最後の（３）だけ分かりません！至急お願いします！ 必要か分かりませんので一応(１)(２)も書いてます！
- hitoritotomoni
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- atkh404185
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(3) グラフを使って最小値をみつけるので、 (2)で求めた式を変形します。（2次関数だから、頂点の座標がわかるように） 次に、x を t に置き換えたので t のとりうる値の範囲を求めます。 （xのとりうる値の範囲は ← t のとりうる値の範囲は の間違いです。） (1)で sinx+cosx=√2 sin(x+π/4) と求め、 (2)で t=sinx+cosx とおいているから これらを合わせて t=√2 sin(x+π/4) (0<=x<=π) になります。このグラフを描いて t のとりうる値の範囲がわかります。 また、原点中心、半径√2 の円を使っても求めることができます。 この場合は π/4<=x+π/4<=5π/4 の範囲で考えることになります。 この t の範囲のグラフを描いて最小となる ｔ の値をみつけます。 ｔ の値がわかれば t=√2 sin(x+π/4) に代入して、x の値が求まります。
- 回答No.2
- atkh404185
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(1) sinx+cosx=√2 sin(x+π/4) (2) y=-t^2+t+1 (3) (2)より y=-t^2+t+1 =-(t^2-t)+1 =-{(t-1/2)^2-1/4}+1 =-(t-1/2)^2+5/4 ここで、x のとりうる値の範囲は t=sinx+cosx=√2 sin(x+π/4) (0<=x<=π) より -1<=t<=1 グラフは(← 描けないので省略します。) 頂点(1/2, 5/4)、左端点(-1, -1)、右端点(1、 1)の 上に凸の放物線の一部分 グラフより y は t=-1 のとき最小値 -1 をとる。このとき x の値は √2 sin(x+π/4)=-1 より sin(x+π/4)=-√2/1 π/4<=x+π/4<=5π/4 より x+π/4=5π/4 x=π・・・・・・（答）
- 回答No.1
- shintaro-2
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>最後の（３）だけ分かりません！至急お願いします！ 必要か分かりませんので一応(１)(２)も書いてます！ ??? (1),(2)が解けて、何故(３)がわからない？ ｙをｔの関数として表せますよね？ そうしたら、ｙが最小となるときのｔの値を出せますよね？ ｔ＝ｒsin(x+a)なのですから、 求まるはずです。
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質問者からのお礼
助かりました、ありがとうございます！