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数学の質問です。
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- 回答No.3
- info22_
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三角関数の合成すると t=sin(x)+cos(x)=(√2)sin(x+(π/4)) ...(1) 0≦x≦πより π/4≦x+(π/4)≦5π/4 ...(2) なので tの取りうる範囲は -1≦t≦√2 ...(3) yをtの関数に直すことにしよう。 (1)より sin(x)+cos(x)=t ...(4) 2乗して 1+2sin(x)cos(x)=t^2 (∵sin^2(x)+cos^2(x)=1) 2sin(x)cos(x)=t^2-1 ...(5) なので y=sin^3(x)+cos^3(x) =(sin(x)+cos(x)){sin^2(x)+cos^2(x)-sin(x)cos(x)} =t{1-(1/2)(t^2-1)} =t(3-t^2)/2 =(3t-t^3)/2 ∴y=-(1/2)(t+√3)t(t-√3) ...(6) y=0の時 t=0,-√3,√3 dy/dt=y'=3(1-t^2)/2 y'=0の時 t=1,-1 tの３次関数yのグラフ（横軸t,縦軸y)は添付図の水色実線のようになる。(3)のtの取りうる範囲を黒実線部分で示した。 tの取りうる範囲のグラフ（黒実線部分）から t=-1の時 yは最小値-1をとる。 t=1の時 yは最大値１をとる。 式(1)のtとxの関係のグラフ(横軸にt、縦軸にx）を添付図に青実践で図示した。 yが最小値=-1をとる時のt=-1に対するx(0≦x≦π)をグラフから求めるとx=πであり、 yが最大値=1をとる時のt=1に対するx(0≦x≦π)をグラフから求めるとx=0,π/2である。、
- 回答No.2
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
＞0≦x≦π、t=sinx+cosxの時、関数y=sin＾³ｘ+cos＾³xの最大値と最小値を求めよ。 又xの値も求めよ。 y=(sinx+cosx)(sin^2x-sinxcosx+cos^2x)=t(1-sinxcosx) t=sinx+cosxより t^2=1+2sinxcosx よって sinxcosx=(t^2-1)/2 従って y=t(1-(t^2-1)/2)=-(t^3-3t)/2 (1) 0≦X≦π、t=sinx+cosx グラフを描けば分かるように -√2≦t≦√2 (2) (2)のtの変域で(1)のグラフを描いてyの値域を調べればよい dy/dt=-3(t^2-1)/2 増減表を書いてグラフを描けばt=-1で極小値-1、t=1で極大値1 変域の端部での値も確認してこれらの極値が各々最小値、最大値になっていることを確認する。 t=-1のときx=π,この時最小値-1 t=1のときx=0またはπ、この時最大値1 をとる。 最大、最小の計算なんて普通の学力があればできる。 この問題のポイントはtとxの関係を正確に把握しうるかであって、グラフが正確に描けることが絶対条件。 特に「t=1のときx=0またはπ、この時最大値1」においてx=πを見逃さないこと。
- 回答No.1
- masa072
- ベストアンサー率37% (197/530)
a+b=3,ab=1のときa^3+b^3の値を求めることはできますか？ 理屈は同じです。 t^2=1+2sinxcosxより、sinxcosx=(t^2-1)/2 y=(sinx+cosx)^3-3sinxcosx(sinx+cosx)=t^3-3t*(t^2-1)/2 また、合成してt=√2sin(x+π/4)より、-1≦t≦√2 3次関数の増減表を書けば終わりです。 確かこれって、数年前の京大文系の問題では？
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