数学IIIの微分の問題がわかりません。

質問

数学IIIの微分の問題がわかりません。

大学の物理で高校数学の復習をやっているのですが、
以下に記載する問題がよくわかりません。
ヒントで構いませんのでどなたか詳しく教えてください。

１　分数関数y=bx+c/x+aのグラフは、点(1,3)を通り２直線x=-1、y=4を漸近線に持つという。定数a、b、cの値を求めて、そのグラフを描け。
→これはさっぱりわかりません・・・。

２　y=√1+cosxの第２次導関数を求めよ。
→y'=1/2(1+cosx)^-1/2-sinxは合っていると思いますが、ここからどのように計算すればよいのかわかりません。

３　xの関数u、vの第２次導関数が存在するとき、(usinv)"を求めよ。
→これもさっぱりです。これはけっこう難しいらしく周りのみんなもできていないようでした。

４　y=x+√1-x^2の最大値、最小値を求めよ。
→y'=1+1/2√1-x^2-2xとなるのですが、y'=0をどう求めるかがわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

proto · ベストアンサー

(1)について
　　y = (bx+c)/(x+a)
でしょうね、おそらく。
(括弧を使ってもらわないと、どこからどこまでが分子なのか分母なのかわからないので気をつけてください)

　　y = (bx+c)/(x+a) = (b(x+a)+c-ab)/(x+a) = b +(c-ab)/(x+a)
と変形でき、これより
　　x=-a , y=b
が漸近線になることが分かります。
あとは曲線が(1,3)を通ることからcの値も求めてください。
グラフの描き方については増減表を書けばいいのです。
教科書に書いてあります、読み返してください。

(2)について
＞y'=1/2(1+cosx)^-1/2-sinxは合っていると思いますが、ここからどのように計算すればよいのかわかりません。
　　y' = (1/2)*((1+cos(x))^(-1/2))*(-sin(x))
ですね。
同様にもう一度微分するだけです。積の微分法を用いましょう。
y'が計算できるなら、y''も計算できるはずです。

(3)について
積の微分と合成関数の微分を組み合わせた問題です。
ややこしいですが、難しくはありません。

まず、uをxで微分すると
　　u' = du/dx
です。これはそのまんまですね。
次に、sin(v)をxで微分すると、合成関数の微分より
　　(sin(v))' = cos(v)*dv/dx
です。
これを元にu*sin(v)を1回微分すると、積の微分法より
　　(u*sin(v))' = u'*sin(v) + u*(sin(v))'
　　　　　　　　= (du/dx)*sin(v) + u*cos(v)*(dv/dx)
これと同じように両辺をもう一度xで微分すれば解答が得られます。

一応書いておきますが
　　(du/dx)' = d^2u/dx^2
　　(dv/dx)' = d^2v/dx^2
です。

(4)について
　　y' = 1 +(1/(2*√(1-x^2)))*(-2x) = 1-x/(√(1-x^2))
ですよね？
y'=0と置くと
　　y' = 1-x/(√(1-x^2)) = 0
　　1 = x/(√(1-x^2))
　　√(1-x^2) = x
両辺を2乗して
　　1-x^2 = x^2
　　2x^2 = 1
これで普通の二次方程式になりました。解いてください。

補足

３の途中式u*cos(v)*(dv/dx)はどのように計算すればよいのでしょうか・・・。
積の公式は使えませんよね・・・？

回答No.2

proto

＞３の途中式u*cos(v)*(dv/dx)はどのように計算すればよいのでしょうか・・・。
＞積の公式は使えませんよね・・・？

使えます。

今回の問題に限りません、3項の積で表される
　　y = f(x)*g(x)*h(x)
を微分するときは、積の微分法を繰り返し用いれば良いのです。

　　y = f(x)*g(x)*h(x) = f(x) * {g(x)*h(x)}
と考えて両辺をxで微分します。
積の微分法より、
　　y' = f'(x)*{g(x)*h(x)} +f(x)*{g(x)*h(x)}'
右辺、後ろの項の{g(x)*h(x)}'に再び積の微分法を用いると
　　y' = f'(x)*{g(x)*h(x)} +f(x)*{g'(x)*h(x) +g(x)*h'(x)}
　　　 = f'(x)*g(x)*h(x) +f(x)*g'(x)*h(x) +f(x)*g(x)*h'(x)
となります。

言いづらいですが、これも含め高校数学の範囲で充分に解ける問題です。

お礼

回答ありがとうございます。
なんとか計算できそうです！
５問とも丁寧な解説をありがとうございました。