斜めの漸近線？

質問

「y=(x^2 -2x +2)/(x-1)のグラフの概形をかけ。」

とある高校数学３の参考書に、このような関数のグラフ描図問題がありまして、解説部分には

「(分母の次数)+1=(分子の次数)ならば必ず斜めの漸近線をもつ。
まず帯分数に直してy=x-1 +1/(x-1)とし、このときx→±∞とすると、関数は限りなく直線y=x-1に近づくのでy=x-1が斜めの漸近線である」

と書かれていました。
そこは理解できたのですが、同じ参考書の別の問題の中で関数y=(x^3 -x+1)/x^2のグラフを描く必要があり、この関数も「(分母の次数)+1=(分子の次数)」の形なので、帯分数に直してy=x -(x-1)/x^2より、y=xが漸近線にもつと考えました。
ですが、模範解答のグラフでは斜めの漸近線には触れられておらず、しかもy=xが漸近線ならば通るはずの点(1,1)をグラフ自体も通るようです。

この関数ではなぜy=xが漸近線とはならないのでしょうか？
そして、上記の解説部分にあるような漸近線の求め方では不備があるのでしょうか？

教えてください、よろしくお願いします。

回答No.2

151A48

あるグラフが自分自身の漸近線と交わることは矛盾ではありません。
（１，１）が極小点，そこから増加，ｘ＝３が変曲点で，ｙ＝ｘが漸近線。
解答で触れていないのは，答えを出すのにそこまでは必要なかったからでは？

お礼

漸近線とグラフが交わることがあるというのを知りませんでした。
また、模範解答ではx>0でのグラフが(1,1)を頂点とする放物線のように描かれており、その図に惑わされていたようです。
実際にx=1000などを代入すると関数は直線y=xに下側から近づいていくのが分かりました。

x=3が変曲点となってy=xに沿うように曲がるのですね。
確かにこの問題はy=kとの交点の個数の問題なので、答えを出すのに必要がなく省略されていたようです。
回答ありがとうございました。

回答No.1

f272

> ですが、模範解答のグラフでは斜めの漸近線には触れられておらず

まあ，いいんじゃない。あなたの答案には漸近線と書けばいいだけ。

> しかもy=xが漸近線ならば通るはずの点(1,1)をグラフ自体も通るようです。

だから，何？通っても不都合ないよね。

> 上記の解説部分にあるような漸近線の求め方では不備があるのでしょうか？

分数関数に対する（一次関数の）漸近線はそれでいいよ。ついでに言うと，y=(x^3 -x+1)/x^2はx=0も漸近線だけどね。

お礼

漸近線とグラフが交わることがあるというのを知りませんでした。
また、模範解答ではx>0でのグラフが(1,1)を頂点とする放物線のように描かれており、その図に惑わされていたようです。
実際にx=1000などを代入すると関数は直線y=xに下側から近づいていくのが分かりました。
回答ありがとうございました。