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漸近線がよくわかりません
漸近線がよくわかりません。 いろいろ分からないことがありますがよろしくお願いします。 まず∞と-∞のちがいがよくわかりません。 また、y=f(x)のグラフで limf(x)=∞、limf(x)=∞、limf(x)=-∞、limf(x)=-∞ x→a+0,,,,,,x→a-0,,,,,,x→a+0,,,,,,,,x→a-0 のいずかが成り立つとき直線x=aは漸近線である。 とのことですがaになにが入るのかをどのようにして求めるのか分かりません。また、x→a+0、x→a-0の違いがよく分かりません。 同じくlimf(x)=b,limf(x)=b ,,,,,,x→∞,,,,,x→-∞ のどちらかが成り立つとき直線y=bは漸近線である。 とのことですがbをどのように求めるのかが分かりません。 また次のような問題を解いてみました。 y=(X^2-X+1)/(X-1)のグラフを書け。 まずこれを変形して、 y=x+1/(x-1)とし、これを微分して y'={X(X-2)}/(X-1)^2 y"=2/(x-1)^3 と求め増減表を書くことは出来るのですが、 このあと漸近線を求めることができません。 色々と質問がありますがよろしくお願いします。
- degreg
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内容がかぶりますが、コメントさせてください。 漸近線は「限りなく近づいていく線」ということですので、極限値を求めていることとほぼ同じです。 ただし、一定の値が出るわけではありません。 lim_[x→a-0]:左極限や、lim_[x→a+0]:右極限などについては、 先の方が丁寧に説明されているとおりです。 最後に書かれている y=(X^2-X+1)/(X-1)のグラフを考える問題が、 漸近線のことをよく表してくれる問題になります。 y=x+1/(x-1)と変形し x→∞としたとき、 第1項はx→∞、第2項は 1/(x-1)→0となります。 つまり、第2項は全体の値には影響しないことになり、第1項である xの影響だけが残るようになります。 このとき、漸近線は y=xとなります。 漸近線は微分係数の変化よりも、関数自身を変形して求まることが多いです。
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- gohtraw
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まず基本的な事項から。 数直線(右が正)を考えた時に果てしなく右に行くのが→+∞、逆に果てしなく左に行くのが→-∞ということです。 また、x→a+0はxがaよりも大きい値を取りつつaに近づくこと、x→a-0はその逆です。 次に、問題のほう。 y=x+1/(x-1)と変形されましたよね。この式の形を見ると、xの絶対値が非常に大きな値を取るとき第2項の絶対値は非常に小さくなります。つまりy≒xとなりますね。でも第2項はゼロにはならないので、xの絶対値が非常に大きくなっていくとこの関数のグラフは無限にy=xに近付いていくことになります。 一方、xの絶対値が小さい領域ではどうでしょうか。xが1に近付いていく(つまり第2項の分母がゼロに近付く)と第2項の絶対値が急速に大きくなっていくはずです。グラフでいうと、上記のy=xから離れて今度はx=1に近付いていきます。これを式で表すと、 x>1のとき limf(x)=∞ x→1 x<1のとき limf(x)=-∞ x→1 ということになります。
- sono0315
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limf(x)=∞ x→a+0 これはxがaに近づくにつれて、f(x)が∞に近づいていくという意味。 だから簡単なグラフだとy=1/xのような反比例のグラフ。 これはy軸に近づくと∞になっていく様子わかりますか? x→+0という表現はプラスの方向から近づく。つまり右側から。 y=1/x様な反比例のグラフだとプラス側から近づくと上にいくので 極限は∞となります x→-0のときはマイナス側から寄って行ったときなので -∞となります。 反比例のグラフは分母が0のとき極限となります。 質問者さんの最後の問題も分母が0になるときが∞になるときなので x=1のときに∞になります どちらから近づいたら+∞なのか-∞なのかは確認してみてください
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