漸近線がよくわかりません

質問

漸近線がよくわかりません。
いろいろ分からないことがありますがよろしくお願いします。

まず∞と－∞のちがいがよくわかりません。

また、y=f(x)のグラフで
limf(x)=∞、limf(x)=∞、limf(x)=－∞、limf(x)=－∞
x→a+0,,,,,,x→a-0,,,,,,x→a+0,,,,,,,,x→a-0
のいずかが成り立つとき直線x=aは漸近線である。
とのことですがaになにが入るのかをどのようにして求めるのか分かりません。また、x→a+0、x→a-0の違いがよく分かりません。

同じくlimf(x)=b,limf(x)=b
,,,,,,x→∞,,,,,x→-∞
のどちらかが成り立つとき直線y=bは漸近線である。
とのことですがbをどのように求めるのかが分かりません。

また次のような問題を解いてみました。
y=(X^2-X+1)/(X-1)のグラフを書け。

まずこれを変形して、
y=x+1/(x-1)とし、これを微分して
y'={X(X-2)}/(X-1)^2
y"=2/(x-1)^3
と求め増減表を書くことは出来るのですが、
このあと漸近線を求めることができません。

色々と質問がありますがよろしくお願いします。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

内容がかぶりますが、コメントさせてください。

漸近線は「限りなく近づいていく線」ということですので、極限値を求めていることとほぼ同じです。
ただし、一定の値が出るわけではありません。

lim_[x→a-0]：左極限や、lim_[x→a+0]：右極限などについては、
先の方が丁寧に説明されているとおりです。

最後に書かれている y=(X^2-X+1)/(X-1)のグラフを考える問題が、
漸近線のことをよく表してくれる問題になります。

y=x+1/(x-1)と変形し x→∞としたとき、
第１項はx→∞、第２項は 1/(x-1)→0となります。
つまり、第２項は全体の値には影響しないことになり、第１項である xの影響だけが残るようになります。
このとき、漸近線は y=xとなります。
漸近線は微分係数の変化よりも、関数自身を変形して求まることが多いです。

回答No.2

gohtraw

まず基本的な事項から。
　数直線（右が正）を考えた時に果てしなく右に行くのが→＋∞、逆に果てしなく左に行くのが→－∞ということです。
　また、ｘ→ａ＋０はｘがａよりも大きい値を取りつつａに近づくこと、ｘ→ａ－０はその逆です。
　次に、問題のほう。
　ｙ＝ｘ＋１／（ｘ－１）と変形されましたよね。この式の形を見ると、ｘの絶対値が非常に大きな値を取るとき第２項の絶対値は非常に小さくなります。つまりｙ≒ｘとなりますね。でも第２項はゼロにはならないので、ｘの絶対値が非常に大きくなっていくとこの関数のグラフは無限にｙ＝ｘに近付いていくことになります。
　一方、ｘの絶対値が小さい領域ではどうでしょうか。ｘが１に近付いていく（つまり第２項の分母がゼロに近付く）と第２項の絶対値が急速に大きくなっていくはずです。グラフでいうと、上記のｙ＝ｘから離れて今度はｘ＝１に近付いていきます。これを式で表すと、
　ｘ＞１のとき
　　ｌｉｍｆ（ｘ）＝∞
　　　ｘ→１
　ｘ＜１のとき
　　ｌｉｍｆ（ｘ）＝－∞
　　　ｘ→１
ということになります。

回答No.1

sono0315

limf(x)=∞
x→a+0

これはxがaに近づくにつれて、f(x)が∞に近づいていくという意味。
だから簡単なグラフだとy=1/xのような反比例のグラフ。

これはy軸に近づくと∞になっていく様子わかりますか？

x→+0という表現はプラスの方向から近づく。つまり右側から。
y=1/x様な反比例のグラフだとプラス側から近づくと上にいくので
極限は∞となります

x→-0のときはマイナス側から寄って行ったときなので
-∞となります。

反比例のグラフは分母が0のとき極限となります。
質問者さんの最後の問題も分母が0になるときが∞になるときなので
x=1のときに∞になります

どちらから近づいたら+∞なのか-∞なのかは確認してみてください