漸近線について

質問

「Y=1/x＋logxのグラフをかけ」という問題で、グラフの増減表は書くことができるのですが漸近線の求め方がわかりません。回答にはY軸が漸近線だと書いてありlim x→0（1/x＋logx）の1/xをｔとおき回答してありました。そこで1/xをtと置かずに「lim x→0（1/x＋logx）」を解き漸近線がY軸であると導びこうとしたのですがうまくいきません。どう考えればよいか教えてください。また漸近線を求める場合はいろんな場合を計算してみて初めて、どれが漸近線だ、と分かるのですか。それとも問題をみてすぐに分かるものなのでしょうか。お願いします。

回答No.3

tasu9 · ベストアンサー

lim x→0（1/x＋logx）を求めるのは難しいですね。
まずは１／ｘをくくり出して、
１／ｘ・（１＋ｘｌｏｇｘ）

（１／ｘ）→∞なので、ｘｌｏｇｘが何か値に収束すればｙ軸が漸近線だといえます。

（ｘｌｏｇｘ）→０なのですが、これを説明するのは難しく、結局、ｘ＝１/ｔとおいて「はさみうちの原理」を使うことになります。

ｘ→０よりもｔ→∞の方が極限が考えやすいので、このように置き換えるんだな、と思ってください。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます！やはり置き換えることをしたほうが良いんですね。自分で解いていくなかで置き換えるという考えが浮かぶかどうかは自信がないですが（＾＾；）でも、なんとなく納得できました！本当にありがとうございました（∨∀∨）

回答No.2

proto

漸近線の判別法としては

lim[x→a]f(x)=∞ or -∞
ならば　x=aが漸近線
lim[x→∞(or -∞)]{f(x)-(ax+b)}=0
ならば　y=ax+bが漸近線

です

質問の『1/xをtと置かずに』の意図がよくわかりません
1/x=tとおいて、y=1/x+log(x)の式を変形するわけではなく
　　lim[x→0]{1/x+log(x)}=∞
を計算する際に、1/xをtと置けば値が求まり
x=0が漸近線であることがわかると云うだけのことだと思うのですが

お礼

早速の回答ありがとうございます。私には1/xをｔと置くという発想がなかったので、もしtと置かなくてもlim[x→0]{1/x+log(x)}を解くと漸近線がY軸であると求めることができるのか・・と思い解いてみたところ、案の定求める事が出来ませんでした。もし1/xをｔと置かなかった場合にどのように考えればlim[x→0]{1/x+log(x)}=∞になるのか、がわからず質問したのです。　やはりｔと置く、という発想を身に付けろということでしょうか（´｀）
　わざわざ回答してくださりありがとうございました（∨▽∨）

回答No.1

sunasearch

y=1/xもy=logxもｙ軸が漸近線だからではないでしょうか。

お礼

すばやい回答ありがとうございます！なるほど・・たしかにどちらの関数も漸近線はY軸ですね。わざわざ回答してくださりありがとうございました（∨▽∨）