数iiiの漸近線について

質問

y軸に平行でない漸近線の求め方として、例えばy=mx+nが=f（x）の漸近線であるとき、傾きm＝lim[x→±∞]f(x)/x、切片n＝lim[x→±∞]{f(x)-mx}でも止めらるのはなぜですか？

傾きの方は求められましたが、切片の方はわかりません。

誰かご教授お願いします。

回答No.3

alice_44

←A No.1 補足
ならないです。

n = lim[x→∞](f(x) - mx) に

m = lim[x→∞]f(x)/x を代入するとき、

同じ x を使い回すとややこしいので

m = lim[t→∞]f(t)/t と変形してから代入すると、

n = lim[x→∞](f(x) - (lim[t→∞]f(t)/t)x)

= lim[x→∞]lim[t→∞](f(x) - f(t)(x/t))

となります。
x/t は約分できないし、

x→∞ と t→∞ の順番も変えられません。

n = lim[x→∞](f(x) - (lim[x→∞]f(x)/x)x)

と一旦書くこと自体は構わないけれど、

内側の lim の中と外では、同じ文字 x の

指すものが違うので、変数名を付け替えないと

ほとんど式変形できません。

補足

なぜ指すものが違うのですか？違いがよくわかりません。お願いします。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。
「言い換え」がうまくできれば、自然な流れで導き出せるかと。

漸近線が直線：y＝ mx+ nになるということは、
以下のように表わすことができます。
lim[x→±∞] { f(x)- (mx+ n) }＝ 0

あとは、この式をゴニョゴニョ変形していくと、
・両辺を xで割って極限をとると、m＝ lim { f(x)/x }
・nの項を移行して、n＝ lim { f(x)- mx }

回答No.1

f272

y=mx+nがf（x）の漸近線である
⇔ lim [x→±∞] (f（x）-(mx+n))=0
⇒ lim [x→±∞] (f（x）/x-m-n/x)=0
⇔ lim [x→±∞] (f（x）/x)=m

y=mx+nがf（x）の漸近線である
⇔ lim [x→±∞] (f（x）-(mx+n))=0
⇔ lim [x→±∞] (f（x）-mx)=n

補足

新たに疑問なんですが、最後の行のmに、４行目のm＝lim [x→±∞] (f（x）/x)を代入すると、lim [x→±∞] (f（x）-f(x))=nになり、n=0にはならないんですか？