• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

分数関数のグラフの漸近線の方程式について教えてください。

分数関数のグラフの漸近線の方程式について教えてください。 f(x)=2x^2/x^2-3x+2 この関数についてなのですが、解説を読んでも理解できなかった箇所があったので質問させていただきます。 f(x)=2+{6x-4/(x-1)(x-2)}と変形できるから、 lim(x→1+0)f(x)=-∞ lim(x→1-0)f(x)=∞ lim(x→2+0)f(x)=∞ lim(x→2-0)f(x)=-∞ このあとはlim(x→±∞){f(x)-2}=0となって、求める漸近線の方程式はx=1,x=2,y=2 となっているのですが、∞と-∞の区別がどうしてこうなるのか分かりませんでした。 すいませんが回答宜しくお願いします。

noname#180825

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数1107
  • ありがとう数18

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • sa10no
  • ベストアンサー率68% (15/22)

x=1とx=2でf(x)は発散するのはいいですよね? x→1+0はxを1より大きい値から1に近づけるという意味です。 なのでx=1近傍で1より少しだけ大きいxを考えてみてください。このとき変形した式の第二項の分子は正、分母のx-2は負、x-1は正なので全体の符号は負になります。このxを限りなく1に近づけていったとしてもx-1は正のままで無限小になる(6x-4やx-2も当然符号は変化しない)ので全体は負のまま発散するわけです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます! 少しだけ大きい値を考えれば良いのですね。 スッキリしました。ありがとうございました!!

関連するQ&A

  • 漸近線を求める

    漸近線を求める問題なのですが、自分で解いていて困ってしまったので、解答をみたのですが、解答の解説の計算過程がわからないところがあります。お手数ですが、どなたかアドバイスをお願いいたします。 問題は、y^3=x^2(x-1)の増減、極値、漸近線、グラフです。 解答は、明らかにy軸に平行な漸近線はないので、漸近線の方程式を=ax+bとおくと、 a=lim(x→+-∞)f(x)/x=1 b=lim(x→+-∞)(y-x) =lim(x→+-∞)(x^3-x^2)^(1/3)-x =lim(x→+-∞)(x^3-x^2-x^3)/((x^3-x^2)^(2/3)+(x^3-x^2)^(1/3)x+x^2=-1/3 となっているのですが、このbを求めるところの二行目から三行目の計算過程がわかりません。これは有利化をしているのかとも思いましたが、自分で有利化してみてもうまくいきません。1/3乗の有利化だと、2/3乗をかければいいのだろうとやってみましたが、それでも解答のようになりません。 どうか、よろしくお願いします。

  • 数IIIグラフ・漸近線に関する質問です。

    いつもお世話になり、ありがとうございます。今回も宜しくお願い致します。 今回は問題ではなく、私自身の疑問についてなのですが、数IIIのグラフを描く際に求める漸近線についてです。 例えば、f(x)=(x^2+x-5)/(x-2)のグラフの漸近線を求める場合、 f(x)=(x+3) + {1/(x-2)} という形に変形させて、漸近線はy=x+3とx=2だと求められると思います。 そこで質問なのですが、漸近線の関数は上のように必ず1次関数なのでしょうか。 解いていた問題の中で、 y= x^2 + (1/x^2) のグラフを求める問題があって、この場合、1/x^2という分数関数の前のx^2は漸近線になるのではないかと思いました。 理由は、x→∞のとき、{f(x)-x^2}→0 になるからです。 でも、(確実に私の経験不足ですが)いままでに漸近線は1次関数以外見たことがないため、私が間違っているのか分からず困っています。 数IIIのグラフを描く際の漸近線は必ず1次関数までなのでしょうか。 お手数をおかけしますが、宜しくお願い致します。

  • 漸近線の求めかた??

    y=x+1+1/(x-1)のグラフを描く問題なんですが、増減表(添付図)を書いた後教科書では次のように漸近線を求めています。 lim[x]→1+0]y=∞, lim[x→1-0]y= ー∞であるからx=1はこの曲線の漸近線である。 さらに lim[x→∞]{y-(x+1)}=0 lim[x→-∞]{y-(x+1)}=0 だからy=x+1もこの曲線の漸近線である。 [質問1] どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか?双曲線であると分かった上での判断ですか?   [質問2] 漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように リミットの中の式をlim[x→∞]{y-(x+1)}=0 という形にしているのでしょうか? (これで確かにy=x+1は漸近線ということがわかりますけど・・) 漸近線を求める上での考え方がよくわかりません。意味不明な箇所があるかもしれませんが、教えてください。

その他の回答 (1)

  • 回答No.2

例えば、 lim(x→1+0)f(x)=-∞ の場合、 f(x)=2+{6x-4/(x-1)(x-2)} で、 lim(x→1+0)(6x-4)/(x-2)=2/(-1)=-2 ですから、 lim(x→1+0)f(x)=lim(x→1+0)[2+{6x-4/(x-1)(x-2)}]=-∞

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 漸近線がよくわかりません

    漸近線がよくわかりません。 いろいろ分からないことがありますがよろしくお願いします。 まず∞と-∞のちがいがよくわかりません。 また、y=f(x)のグラフで limf(x)=∞、limf(x)=∞、limf(x)=-∞、limf(x)=-∞ x→a+0,,,,,,x→a-0,,,,,,x→a+0,,,,,,,,x→a-0 のいずかが成り立つとき直線x=aは漸近線である。 とのことですがaになにが入るのかをどのようにして求めるのか分かりません。また、x→a+0、x→a-0の違いがよく分かりません。 同じくlimf(x)=b,limf(x)=b ,,,,,,x→∞,,,,,x→-∞ のどちらかが成り立つとき直線y=bは漸近線である。 とのことですがbをどのように求めるのかが分かりません。 また次のような問題を解いてみました。 y=(X^2-X+1)/(X-1)のグラフを書け。 まずこれを変形して、 y=x+1/(x-1)とし、これを微分して y'={X(X-2)}/(X-1)^2 y"=2/(x-1)^3 と求め増減表を書くことは出来るのですが、 このあと漸近線を求めることができません。 色々と質問がありますがよろしくお願いします。

  • 斜めの漸近線?

    「y=(x^2 -2x +2)/(x-1)のグラフの概形をかけ。」 とある高校数学3の参考書に、このような関数のグラフ描図問題がありまして、解説部分には 「(分母の次数)+1=(分子の次数)ならば必ず斜めの漸近線をもつ。 まず帯分数に直してy=x-1 +1/(x-1)とし、このときx→±∞とすると、関数は限りなく直線y=x-1に近づくのでy=x-1が斜めの漸近線である」 と書かれていました。 そこは理解できたのですが、同じ参考書の別の問題の中で関数y=(x^3 -x+1)/x^2のグラフを描く必要があり、この関数も「(分母の次数)+1=(分子の次数)」の形なので、帯分数に直してy=x -(x-1)/x^2より、y=xが漸近線にもつと考えました。 ですが、模範解答のグラフでは斜めの漸近線には触れられておらず、しかもy=xが漸近線ならば通るはずの点(1,1)をグラフ自体も通るようです。 この関数ではなぜy=xが漸近線とはならないのでしょうか? そして、上記の解説部分にあるような漸近線の求め方では不備があるのでしょうか? 教えてください、よろしくお願いします。

  • x軸に垂直でない漸近線

    どうして以下のようになるのか分かりません。 関数y=f(x)のグラフのx軸に垂直でない漸近線ついて limx→∞{f(x)ー(ax+b)}=0またはlimx→ー∞{f(x)ー(ax+b)}=0ならば、直線y=ax+bは漸近線である。 以上よろしくお願いします。

  • 漸近線の求め方

    題名の通りですが、漸近線の求め方の公式について質問です。 漸近線にはy軸に平行かどうかによって2タイプあると思いますが、y軸に平行でない漸近線y=mx+nの求め方について質問です。 説明には y=mx+nが曲線y=f(x)の漸近線になるための条件は本来 Lim(x→+∞){f(x)-(mx+n)}=0またはLim(x→-∞){f(x)-(mx+n)}=0であるが、※ mについてはlim(x→±∞){f(x)/x-(m+n/x)}=0であるから、これとlim(x→±∞)n/x=0より m=lim(x→±∞)f(x)/xであるといえる。 私は※までは理解できます。でも三行目以降の 「mについてはlim(x→±∞){f(x)/x-(m+n/x)}=0であるから、」 の意味がわかりません。前の式をxで割っているようですが、どうしてxで割っているんでしょうか? いつもは、関数を割って、漸近線を求めていたのですが、上の方法の漸近線の求め方もマスターしたいと思います。 どなたかご助言をよろしくお願いいたします。

  • 漸近線について

    「Y=1/x+logxのグラフをかけ」という問題で、グラフの増減表は書くことができるのですが漸近線の求め方がわかりません。回答にはY軸が漸近線だと書いてありlim x→0(1/x+logx)の1/xをtとおき回答してありました。そこで1/xをtと置かずに「lim x→0(1/x+logx)」を解き漸近線がY軸であると導びこうとしたのですがうまくいきません。どう考えればよいか教えてください。また漸近線を求める場合はいろんな場合を計算してみて初めて、どれが漸近線だ、と分かるのですか。それとも問題をみてすぐに分かるものなのでしょうか。お願いします。

  • 分数関数の漸近線の問題が判りません

    お世話になります。 関数f(x)=(2x^2+x-2)/(x^2+ x-2)について、次のものを求めよ。 ・関数y=f(x)と直線y=kが1点だけを共有するときのkの値 解答を見ると、グラフと漸近線が交わっているように見えるのですが、そう云う場合もあるのでしょうか? ご教示、宜しくお願い致します。

  • 漸近線を求める問題で・・・。

    漸近線を求める問題で・・・。 関数f(x)=√(x^2-2x+2)のグラフの漸近線を求めよという問題で、 解説の一番初めに 根号内の符号を調べるとそれが正なので f(x)は全ての実数について連続であるから、 x軸に垂直な漸近線はない。 と言うことが書いてありました。 どうして根号内の符号が正だと f(x)は全ての実数について連続であるといえるのかがわかりません。 他の参考書の類題も見ましたが、 このくだりについては書かれていませんでした・・。 この後の漸近線を求めるところは問題なく解答できました。 また、ここで躓いた場合 どの分野のどういう問題に戻って勉強すればよろしいでしょうか。 回答宜しくお願いいたします

  • y=f(x)の漸近線の求め方が分かりません。

    y={(x+1)^2*(x-2)}^(1/3)のグラフの漸近線を求める時に (1)lim(x→±∞)*y/x=1 (2)lim(x→±∞)*(y-1*x)=0 の2つを求めて「ゆえに漸近線はy=xである。」と書かれていますが。理解できません。何でxで割るのか、何で(1)(2)のような作業をするのかということについてはパターンとして覚えればいいと思います。 しかしなぜ(1)(2)を考えると漸近線はy=xになるかが分かりません。 どなたか教えてください。

  • 漸近線を求めるときの場合分け

    タイトルの通りなのですが、漸近線の求め方について質問です。よろしくお願いします。 漸近線の基本的な求め方は、1、y軸に平衡な漸近線、2、y軸に平衡でない漸近線、とあります。 これを使って 問題1、y=(x^2-x+1)/(x-1)の漸近線を求めよ。 問題2、y=2x+(x^2-1)^(1/2)の漸近線を求めよ。 です。 解答は、問題1では式を変形して、漸近線を予想して、解いています。問題2では、明らかに、y軸に平行な漸近線はない、として、y軸に平行でない漸近線を求めています。 ですが、ここで質問です。問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでしょうか。また、問題 で、明らかにy軸に平行な漸近線はない、としていますが、グラフもかけないで、どうしてそのようにいいきれるのでしょうか。ただ、これには、注として、グラフの概形は、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の和曲線を考えるとありました。が、これの意味もよくわからないのです。 勉強不足ですが、どなたか存知の方、アドバイスをいただけませんか。よろしくお願いします。

  • 漸近線

    こんにちは。漸近線についての質問です。(高校数III) 本によれば、 「関数f(x)のグラフの漸近線の求め方として、 (1)limf(x)=±∞またはlimf(x)=±∞ならば、  x→a+0         x→a-0 直線x=aが漸近線。」 とのことですが、よくわかりません。これはどういうことで、なぜでしょうか? もう少し解説をお願いします。