漸近線について

質問

曲線において、その上の一点が原点から無限に遠ざかっていくとき、その点からの距離が限りなく 0 に近づくような直線。例えば y＝1/x の漸近線は x 軸（ y＝0）と y 軸（ x＝0）。

　漸近線を辞書で調べるとこのように書いてあるのですが、いまいち意味がわかりません。
　漸近線とは具体的にどんなものを指すのでしょうか？

回答No.3

aster · ベストアンサー

「漸近線（ぜんきんせん）」という言葉の意味が分かりにくいのだと思います。「漸（ぜん）」という漢字は、緩和辞典を引くと分かりますが、「漸く（ようやく）」という意味と、「段段と」という意味があります。

漢字熟語としては、「漸次」とか「漸増」などがあります。「漸次」とは「段段次へ」というような感じで、「段段と」という意味で、「漸増」とは「段段増えて行く」という意味です。

「漸近線」というのは「段段と近づいて行く直線」というような意味です。最初は曲線なののですが、ｘの値が段段大きくなると、それにともなって、直線に近づいて行く曲線の場合、この近づいて行く「直線」を、この曲線の「漸近線」というのです。

例えば、y＝2^x という関数のグラフを考えると、ｘ＝０の時、ｙ＝１で、ｘが大きくなると、ｙは急速に大きくなって行きます。他方、ｘ＜０の場合は、y＝2^x は、y＝1/2^(|x|) となります。この曲線は、次のような形をしています：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｙ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　　 **　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　　**　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　　*　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　**　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　*　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　**　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１＋*
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　*｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 **　｜
　　　　　　　　　　　　　　　　 ******　　｜
　　　　　　　　　　　　******　 　　　　　｜
　　　　　　********　　　　　　　　　　　｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――Ｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜

ｘがどんどん小さくなって行くにつれ、y＝1/2^(|x|) のｙの値は、だんだんと０に近づいて行くのであり、ｘがマイナスの側で、この曲線は、Ｘ軸にだんだん近づいて行きます。

y＝2^x という式が決める曲線は、ｘがマイナスの領域で、Ｘ軸に近づいて行くのであり、この曲線は、Ｘ軸（y＝0）を、「漸近線」として持つのです。

y＝1/x の場合だと、ｘ＞０の場合、ｘが限りなく大きくなるにつれ、ｙの値は段段０に近づいて行き、Ｘ軸に近くなって行くので、Ｘ軸（y＝0）の直線が漸近線になります。また、ｘが限りなく小さくなって０に近づいて行く時、ｙの値は無限に近づいて行き、曲線は、Ｙ軸（x＝0）に近づいて行くので、Ｙ軸（x＝0）の直線が漸近線になるのです。

お礼

＞「漸近線（ぜんきんせん）」という言葉の意味が分かりにくいのだと思います。
　そうなんです。あんな短い質問文から意図を読み取ってくださってありがとうございます。
　もともと「漸近線」という言葉を調べてみたいきさつが、表題に「漸近線」とある詩を読んだからだったのです。
　図解もされていて、わかりやすかったです。回答ありがとうございました。

回答No.4

oshiete_goo

#1の者ですが, 再度の補足・訂正です.
#1では
＞lim_(ｘ→a){f(x)／x}=ｋ(有限な定数)となるようなｋがあれば，ｘ→a (aは＋∞や－∞)のときにf(x)はy＝ｋｘ＋ｃ　(ｃは別に求める定数)の形の漸近線があります．

と書きましたが, これは『y＝ｋｘ＋ｃ　(ｃは別に求める定数)の形の漸近線を持つ可能性がある（必要条件）．』と訂正いたします. 定数cの存在の確認がさらに必要でした. lim_(ｘ→a){f(x)－ｋx}=ｃ　となる定数ｃがさらに存在すれば．漸近線y＝ｋｘ＋ｃを持つといえます.

＜正＞
aは+∞または-∞の一方または両方として,
lim_{x→a}{f(x)-(kx+c)}=0 となる定数k,cがともに存在するとき,
x→a のときに y=kx+c の形の漸近線をもつ[ただしk,cは0でも良い].

元のままだと,
[反例]『f(x)=log_{e}(x) とすると,
lim_(ｘ→+∞){f(x)／x}=0 だが, lim_(ｘ→+∞){f(x)－0・x}=+∞ で定数cが存在せず, ｘ→+∞のときは漸近線は存在しない.』
などがあります.

なお, y軸に平行な漸近線については先述のようにして, 別に扱うものとします.
不正確ですみませんでした.

お礼

こんなにたくさんの回答ありがとうございます。
　ただ、数式のようなものがたくさんで、文系ナイズされてる頭を絞って、一生懸命考えたんですが、わたしには理解できませんでした・・・ごめんなさい。　　　　oshiete gooさんの何度も訂正していただいた親切にはとっても感謝しています。ほんとうにありがとうございました。

回答No.2

oshiete_goo

#1の例1の補足です.

＞例１）ｙ＝(2x^2+x+1)/x
＞これは　ｙ＝2x+1 +1/x と変形してみれば分かりますが，ｘ→+∞ のとき　漸近線ｙ＝2x+1 を持ちます．(誤差1／xは０に収束)

これはｘ→－∞のときも同じ漸近線を持つので, 正確に言えば
『ｘ→±∞ のとき　漸近線ｙ＝2x+1 をもつ』ということになります．
一般的にはｘ→+∞ のときとｘ→－∞のときの振る舞いは違ってよいわけですが, 今の例1の場合はたまたまどちらの極限でも漸近線を持ち, しかも一致しています.
（例えばy=e^x だと, ｘ→－∞のときは漸近線y=0(x軸)をもち, ｘ→+∞ のときは漸近線をもちませんね.）

回答No.1

oshiete_goo

定義は本にある通りでしょうが, それでは分かりにくいというご質問ですね.
厳密さは欠くかも知れませんが,もっと直観的に考えてみます.

普通「漸近線」と言っているのは,「曲線が漸近していく直線」のことで,
例えば y=1/x ならば, ｘ→+∞ のとき 曲線のグラフは正の値をとりながら減少を続けるけれども, だんだんグラフの曲がりが小さくなって，ある直線と区別がつかなくなってきます．それがこのときの漸近線ｙ＝０（つまりｘ軸）です．
つまり，曲線が次第に接近していって，その違いが無限に小さくなっていくような(元の曲線と区別がつかなくなっていくような)直線が存在するとき，元のグラフは漸近線を持つというわけです．

例１）ｙ＝(2x^2+x+1)/x
これは　ｙ＝2x+1 +1/x と変形してみれば分かりますが，ｘ→+∞ のとき　漸近線ｙ＝2x+1 を持ちます．(誤差1／xは０に収束)

例２）ｙ＝x^2+3x これは放物線ですから，ｘ→+∞ のときもｘ→－∞ のときもグラフはどんどん値が増加して，まっすぐに近くなる気もしますが，どこまでいっても曲がっていて，加速度的に増加し，直線的な変化には近づかないので，漸近線は持ちません．

一般には，例えばｘ→a (aは＋∞や－∞)のときに，関数　y＝f(x)　について
lim_(ｘ→a){f(x)／x}=ｋ(有限な定数)となるようなｋがあれば，ｘ→a (aは＋∞や－∞)のときにf(x)はy＝ｋｘ＋ｃ　(ｃは別に求める定数)の形の漸近線があります．これは傾きｋ[０でも良い]のある直線に限りなく近づいていく(増加率がｋに近づくから)ことを示しています．　
[正確には，上のような有限なkがあったときは，
lim_(ｘ→a){f(x)－ｋx}=ｃ　で定数ｃは求められるんでした．]

またｙ＝１／(ｘ－２)　のような関数や　ｙ＝log_{e}(x) のような関数はｙ軸に平行な漸近線(それぞれ)x=2，x＝0　を持つこともご存知だと思います．
有限なある値aにｘが近づくときに発散が起きる場合はこのようなｙ軸に平行な漸近線がありますね．

漸近線は，このように，xがある値や＋∞あるいは－∞にいくときに関数のグラフが限りなく近づいていく直線がもしあれば，その直線のことです．(勿論，もともと曲がった関数のグラフなら存在しなかったりします．)