曲線と直線の交点の意味と複素直線の考え方
- 本質問では、「(xの3乗)+(xの2乗)+(yの2乗)=0」という曲線Cと原点を通る直線との交点について疑問があります。
- 「Cは原点で2本の複素直線x+iy=0とxーiy=0に沿った方向に枝分れをしていて、原点を通る直線はこの枝との交わりとして2個以上の交点をもつ」という説明は、曲線Cと複素直線との関係を説明しています。
- 複素直線は実数平面上の直線の拡張であり、実数直線と原点を通る直線の交点は無限個存在するため、複素直線と原点を通る直線の交点も無限個存在します。
- ベストアンサー
曲線と直線の交点
代数曲線のはなしという本にでてくる、(xの3乗)+(xの2乗)+(yの2乗)=0という曲線をCとして、原点を通る直線とCとの交点を考える例題についての質問です。 このときの「Cは原点で2本の複素直線x+iy=0とxーiy=0に沿った方向に枝分れをしていて、原点を通る直線はこの枝との交わりとして2個以上の交点をもつ」という説明の意味がよくわかりません。 枝の意味がわからないのと、原点を通る直線はx=λt、y=μtとおけるので((λの3乗)t+(λの2乗)+(μの2乗))(tの2乗)=0よりt=0またはー((λの2乗)+(μの2乗))/(λの3乗)でよさそうなのになぜ複素直線という変なものを考えるのか。また、(λ+iμ)t=0ならt=0またはλ+iμ=0で、(λーiμ)t=0ならt=0またはλーiμ=0だからどちらにしてもそういうλとμの組み合わせは無限個あって、複素直線と原点を通る直線の交点は無限個だから2個以上という考え方なのか。
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数2
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
仰る通りのやりかたで良いと思います。 「曲線」とは複素数の対(x,y)の集合 C = { (x,y) | x,yは複素数で、(x^3) + (x^2) + (y^2) = 0} である。(x^2 はxの2乗の意味です。)(もしCをxからyへの関数だと思おうとすれば「枝分かれがある」という議論になる。けれども、Cを単なる集合として見ているぶんには、そんなの関係なし。) 一方「原点を通る直線」とは複素数λ, μ(ただしλかμの少なくとも一方は0でない)を決めたとき、 L(λ, μ) = { (λt,μt) | tは複素数} という複素数の対の集合である。ただし、0でない任意の複素数αについて L(αλ, αμ) = L(λ, μ) だから、同じ集合を表すλ, μの組み合わせはいくらでもある、という点には注意。 そして、両者の共通部分 C∩L(λ, μ) が「交点」です。だから、 C∩L(λ, μ) = { (λt,μt) | tは複素数で、((λt)^3) + ((λt)^2) + ((μt)^2) = 0} = { (λt,μt) | tは複素数で、(t^2)((λ^3)t + λ^2 + μ^2) = 0} = { (λt,μt) | tは複素数で、t = 0 または (λ^3)t = -(λ^2 + μ^2)} なので、λ=0 のとき、交点は C∩L(0, μ) = {(0,0)} です。また、λ≠ 0 のとき、交点は C∩L(λ, μ) ={ (0,0), -(1 + (μ/λ)^2), -(μ/λ)(1 + (μ/λ)^2)) } であり、交点の個数は (μ/λ)^2≠-1 なら2個、 (μ/λ)^2=-1なら1個。 (なお、λ, μは(μ/λ)の形でしか現れないので、同じ「原点を通る直線」をL(αλ, αμ) と表しても答は変わらない。) となると、「2個以上の交点を持つ」というはなしは腑に落ちませんねー。
その他の回答 (2)
- ramayana
- ベストアンサー率75% (215/285)
全体を複素数の世界で議論すべきところを、中途半端に実数の世界の感覚を持ち込んでしまっているみたいですね。 x^3 + x^2 + y^2 = 0 を y について解くと、x = 0 の近傍で [1] y = ix(x+1)^(1/2) 又は y = -ix(x+1)^(1/2) となります。(x+1)^(1/2) は多価関数で、x = 0 の近傍で 1 になるものと -1 になるものの 2 種類があります。ここでは、便宜上、x = 0 の近傍で 1 になるものを (x+1)^(1/2) で表すことにします(x = 0 の近傍で -1 になるものを選んだとしても同じ結果になる)。 さて、[1] に示されたごとく、x = 0 の近傍で y は 2 種類の関数で表されます。どっちの関数も、x = 0 で y = 0 です。すなわち、x^3 + x^2 + y^2 = 0 のグラフは、原点の近傍では原点を通る 2 本の曲線となります。 次に、それぞれの曲線の原点における接線を求めてみましょう。接線の傾きは、dy/dx です。実際に計算すると、 [2] dy/dx = i((x+1)^(1/2) + (1/2)x(x+1)^(-1/2)) 又は dy/dx = -i((x+1)^(1/2) + (1/2)x(x+1)^(-1/2)) となります。とくに x = 0 のとき、dy/dx は、i 又は –i です。よって、接線の方程式は、 [3] y = ix 又は y = -ix となります。 その本に書かれているのは、上のようなことを指しているのでしょう。 なお、ご質問の中で「なぜ複素直線という変なものを考えるのか」とありますが、複素数の世界の議論なのだから、直線も複素数の世界で考えるのは当然です。ちなみに、複素数の世界の直線や曲線は、実数の世界の平面や曲面に相当します。
お礼
接線の定義とかが本とは違うやりかたで、「dy/dx です」は受け入れられないし、ご回答の内容だと質問の答えにならないのですが、本に書いてあることと全く別のアプローチという意味で参考になりました。
補足
「全体を複素数の世界で議論すべきところを、中途半端に実数の世界の感覚を持ち込んでしまっているみたいですね。」これはどういう意味ですか?本ではそういう区別がまったくされていませんでした。 「複素数の世界の議論なのだから、直線も複素数の世界で考えるのは当然です。」とありますが、本ではそういうこと(複素数の世界)が全く触れられていないのです。だから当たり前といわれても困ってしまう。それで質問したわけですが。 枝といっているのは多価関数の枝の意味ですか?本の書き方からそういうふうに考えづらいです。 「グラフは、原点の近傍では原点を通る 2 本の曲線となります」のところがよくわかりません。
- trytobe
- ベストアンサー率36% (3457/9591)
まず、曲線C: (xの3乗)+(xの2乗)+(yの2乗)=0 の、x や y が実数なのか複素数なのか、というところを明示するところから入ったほうが良いように思います。 x,y ともに実数であれば、xy平面の上に曲線C (実際にはz軸方向に上下幅を持って曲面があるのをxy平面が切った断面)があり、 xy平面を複素平面であるかのように置き換えて議論すれば(xを実数軸、yを虚数軸を見れば)、「Cは原点で2本の複素直線x+iy=0とx-iy=0に沿った方向に枝分れをして」いるかもしれません。少なくとも、曲線Cは原点(x,y)=(0,0)を通るので。
補足
「x や y が実数なのか複素数なのか」とのことですが、どっちでもいいです。そこ重要ですか?質問の説明はxもyも複素数を動く場合について述べているわけですし実数と考えると意味が通じなく成ります。 「xy平面を複素平面」そう考えるのではないと思います。あえていえば複素平面と複素平面の直積ではないですか?
関連するQ&A
- 円と直線の交点を通る円
次の問題について教えてください。 問題「円x^2+y^2=25と直線y=x+1の2つの交点と原点Oを通る円の方程式を求めよ。」 『チャートII+B』(数研出版) 解答では k(x-y+1)+x^2+y^2-25=0 に(0,0)を代入するとk=25 よって、x^2+y^2+25x-25y=0 が求める方程式。 なのですが、 解説の「2曲線の交点を通る曲線の方程式」では、 f,gが円を表すとき、 kf+g=0 は k=-1のとき 2つの交点を通る直線 k=-1でないとき、2つの交点を通る円 を表す。 とあるので、これに沿って 求める円を x^2+y^2+ax+by+c=0 として k(x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0 とおき、 k=-1のときが交点を通る直線なので 2円 x^2+y^2=25、x^2+y^2+ax+by+c=0 の2つの交点を通る直線が y=x+1 つまり x-y+1=0 ・・・(1) となると考えました。 ところがこれでは -( x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0 ・・・(2) ax+by+c+25=0 だから(1)と係数を比較するとc=-24となります。 一方求める円は(0,0)を通るから(2)に代入するとc=-25となります。 いずれも答えになりません。 これはどういうことなのでしょうか? 何が間違っていたのかわかりやすく解説ください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直線と曲線の問題です
k>0とし、f(x)=x3乗-6xとする。xy平面上の 曲線C:y=f(x), 直線l:y=k(x-1)-5 の相異なる3つの交点をA1(a,f(a)),A2(b,f(b)),A3(c,f(c))とし、点Ai(i=1,2 ,3)におけるCの接線とCの交点のうち点Ai以外の交点を点Ai’(i=1,2,3)とおく。このとき次の各問いに答えよ。 (1)点A1’の座標をaで表せ。 (2)3点A1’,A2’,A3’は同一直線状にあることを示せ。 です。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2直線の交点を通る直線の式について
2直線の交点を通る直線の式について 2直線をax+by+c=0,a'x+b'y+c'=0の交点を通る直線の式は ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0 …(*) であらわすことができますよね。 (*)が、2直線をax+by+c=0,a'x+b'y+c'=0の交点を通る直線の式となっていることは理解できます。 しかし、(*)の式を用いなくても、2直線の交点を通る直線の式を求めることはできますよね。連立方程式を解いたりして… わざわざ、(*)のような式を立てる意味は何ですか?? また、なぜk倍しているのでしょうか?? そもそも、なぜ異なる2式を(*)のように足すことができるのでしょうか?? 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 楕円と直線の交点と曲率半径の関係
楕円曲線式 x^2/a^2+y^2/b^2=1 (原点を中心として、x軸長2a、y軸長2bの楕円) のaが特定されているとして 上記楕円曲線と 直線 y=xtanθ (原点を通る、特定の傾きθの直線) との交点における 楕円の曲率半径が 特定値r であるときに 上記楕円曲線式のbを算出する式を 教えてください
- 締切済み
- 数学・算数
- 2直線の交点を通る直線群に関して
3直線 4x+3y-24=0 x-2y+5=0 ax+y+2=0 が1点で交わるとき、定数aを求める問題ですが 2直線の交点を通る直線群の恒等式より定数kを使い (4x+3y-24)k+(x-2y+5)=0 (4k+1)x+(3k-2)y-24k+5=0 として 4k+1=a 3k-2=1 -24k+5=2 としては解けないのは何故でしょうか? そもそも2直線の交点を通る直線群の恒等式の意味をあまり理解していないのではありますが… 解答によるとどうやら先に 4x+3y-24=0 x-2y+5=0 の交点(3,4)を求めなければならないようです 2直線の交点を通る直線群の恒等式の効果があるときとないときの違いを素人にわかりやすく教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2円の交点を通る図形
x、y平面上の2つの円C1:xの二乗+yの二乗=25、C2:(x-4)の二乗+(y-3)の二乗=2について、 (1)C1、C2の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。 (2)C1、C2の2つの交点を通り、点(3,1)を通る円の方程式を求めよ。 私の解答は (xの二乗+yの二乗-25)+k(xの二乗+yの二乗-8x-6y+23)=0 でも正解を見たら求める方程式は (xの二乗+yの二乗-8x-6y+23)+k(xの二乗+yの二乗-25)=0 でした。 どちらにkをつけるのかということは重要ですか?
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
不明点がクリアになって様子がみえてきました。 y軸に”平行”だとたしかに1つですね。 ありがとうございました。