logのグラフ

質問

自然対数のグラフといったら
logxの場合、
x→∞ならy→∞　x→＋0ならy→－∞となりｙ軸が漸近線となりますよね

logx^2の時は
0<x　のとき　logxのグラフよりy軸に引き寄せられている感じだけど、
x→∞ならy→∞　x→±0ならy→－∞となり、y軸を漸近線とした、同じタイプのグラフですよね？
違いは0<xとx<0の部分はy軸に関して対称なグラフになり、x>0にもグラフが描けるという点ですよね。

けどlog(x+1)になるとx=0のときにlog1となり
e^0=1なので　x=0のときy=0となり　漸近線だったはずのy軸にもグラフが描けるように変化してしまうんでしょうか・・・？
というと、漸近線というのが存在しないようなグラフになり、まったく別物ですよね・・・？

ここで少し混乱してしまいました。

xというのは変数だから、xもx+1も基本的に変わりないと思っていました。　というのは・・・
y=x+1とy=x　y=(x+1)^2とy=x^2　などといったものは基本的に形は同じグラフですよね。

けど対数のグラフは logx とlog(x+1)でまったく別物になってしまうんでしょうか・・・？

なぜグラフのことが問題なのかというと、数IIIの範囲で回転体の体積を求めるときにグラフが外側にあるか内側かの判断のために必要だったからです・・・。

☆入試で回転体が出たとき、仮に、グラフの概形が自分が書いたのであっているか微妙なとき、答案に書くべきでしょうか？答えがあえば書く必要はないでしょうか？
（どこからどこまでの区間においてどちらのグラフが外側内側と明記すれば）

回答No.1

chaozux · ベストアンサー

はじめまして。
１０年前に理系高校生でした。

>logx^2の時は
>0<x　のとき　logxのグラフよりy軸に引き寄せられている感じだけど、
>x→∞ならy→∞　x→±0ならy→－∞となり、y軸を漸近線とした、同じタイプのグラフですよね？
>違いは0<xとx<0の部分はy軸に関して対称なグラフになり、x>0にもグラフが描けるという点ですよね。

→　考え方は正しいと思いますよ。ただ、
　x→∞ならy→∞　の部分ですが、x→±∞ならy→∞
　ですよね。

さて、y=log(x+1)についてですが、グラフの形はy=logxと全く同じです。
では、何が違うかというと、漸近線です。
漸近線は、必ずしもy軸と同じというわけではありません。
y=logx　は、x=0が漸近線になります。
だから、y=logxの漸近線はy軸と同じになるのです。
では、y=log(x+1)の場合はというと、(x+1)=0が漸近線になります。
つまり、x=-1が漸近線になるのです。
y=logxを、x方向に-1だけずらしたグラフになります。
この時、x=-1のところに、薄く漸近線と分かるようにグラフに書いておくと良いと思います。

今、昔の記憶を必死に呼び起こしながら回答を書きました＾＾；
分かりづらいかもしれませんが、参考になれば幸いです。
それでは、勉強の方、頑張ってくださいね！

お礼

なるほど、ありがとうございました！
y=logxの漸近線についてよくわかりました
logは底を何乗したら真数になるのか・・・？の何乗したら・・・？の値がyであるわけで　真数が0ってのはありえないから漸近線となるわけですよね。y=log(x+1)のとき(x+1)=0は漸近線と考えられるわけですよね、ありがとうございました！

補足

本当にすみません。こちらのミスなのですが・・・（汗
logx^2は ｙ軸を漸近線としているのに、log(x^2 +1)だとぜんぜんグラフが変わってしまうんだなぁ・・・　と思って質問させてもらいました。

でも真数が0になることは真数条件より、ありえないことだけど、よく考えると、x^2+1では絶対0になりませんよね、つまり漸近線は存在しないということですよね。だからlogx^2とはぜんぜん違うものになるんですよね。

☆質問したいのですが　log(x^2 +1)　のぐらふでは
(x^2 +1)=e　で変曲点でしょうか？
真数がeより大きいとき上に凸のようなグラフになりますよね、真数がそれより小さければ下に凸のグラフになるのでしょうか・・・？

logx^2のグラフは（真数）>0　のときはいつでも上に凸のようなグラフになるのに、log(x^2+1)だとグラフが変わるってのは不思議だな・・・とおもってしまいました。

※上に凸っていう表現はおかしい気がしますので・・・　接線の傾きが0より大きければ上に凸という意味です。

chaozuxさんがいらっしゃらなければ、どなたでもいいのでご解答いただければと思います。　よろしくおねがいします！

回答No.5

debut

y=log(x^2+1)のグラフは、No4の方の回答のような感じになります。

ただ、
y '=2x/(x^2+1)より（極値はx=0のときy=0）
y ''={2(x^2+1)-2x*2x}/(x^2+1)^2=-2(x^2-1)/(x^2+1)^2
y ''=0 から、x=-1とx=1なので、変曲点は(-1,log2),(1,log2)です。

お礼

ありがとうございます！模範解答のグラフと見比べて、納得いきました！　やはりグラフを正確に書くためには導関数＝０　２次の導関数＝０　で極値、変局点をみつけることが必要ですよね

回答No.4

chaozux

logx^2では、y軸が漸近線で良いと思いますよ。
グラフがy軸に触れることはありません。

では、log(x^2+1)のグラフについてですが、単純に下に凸のグラフになります。（座標(0,0)が一番下になります。）
logx^2のグラフの両側を、座標(0,0)でくっつけたような感じになると思います。
これは、logx^2の場合は、真数＞０の条件から、x=0をグラフ上通りませんが、log(x^2+1)の場合は、常に真数＞０であるから、グラフ上は途切れることはないということです。

また、変曲点についてですが、このグラフの場合、変曲点がないのでは？と思うのですが、どうなのでしょう。
実際、
y'=1/(x^2+1)
y''=-2x/(x^2+1)^2
で、y''=0の点を変曲点とすると、x=0で変曲点なのかな、って感じはするのですが。。。
すみません、もう数学を離れて１０年近く経ってしまっているためか、はっきりと思い出せません(>_<)
昔、よく解いた問題である記憶はあるのですが・・・

あまり、力になれなくてごめんなさい。
他の現役で数学を解いていらっしゃる方の回答をお願いいたします。

お礼

ありがとうございます！

回答No.3

osamuy

＞ y=-1
みすった、x=-1が漸近線ですね。

回答No.2

osamuy

log(x+1)なら、y=-1が漸近線になります。

x+1というのが、座標軸の移動（具体的には(-1,0)が新たな原点となっている。）という操作に対応してると考えてださい。

参考URL：

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/idou/heikou-idou.html

お礼

なるほど、ありがとうございました！　(x+p)という形で表されていたら-p　ずらした形ということですよね。