logについて

質問

logについて

(logは自然対数です)

logxがx=0で定義されないのは、グラフより分かるのですが、
lim[x→+0]logx，lim[x→-0]log-xは-∞に発散すると言うのは合っているでしょうか？

また、対数において対数の底が、a<0，a≠1の場合の理由はなぜでしょ
うか？

a=0の場合の理由はなんとなくですが理解できます。
logｘ=y→x=a^yとなりa=0の場合はx=a^yが成り立たないからと認識しております。
つまり定義されないと認識しています。

a=1の場合の理由がいまいち分かりません・・・
logｘ=y→x=1^yとなりa=1の場合は成り立つのですが、結局yがどんな数でもx=1
となるので対数を用いる意味が無いからということなのでしょうか？

回答No.3

banakona · ベストアンサー

＃１です。　よくよく読んだら質問者さんのトートロジーみたいになっていました。

そのお詫びとして、

＞なぜ、log[底a] x=(log x)/(log a) となるのでしょうか？
＞また、log x，log aの底は自然対数でしょうか？

これのご質問にお答えします。（教科書や参考書に必ず載っている基本公式なんですけどね。）

前後しますが後者から。
底は「１ではない正数」であれば何でもいいです。

前者。その前に、勘違いしそうなので、log[底a] xを
　log[a] x
と書くことにします。
　Ａ＝log[a] x　　　・・・★
と起きます。対数の定義から
　ａ^Ａ＝ｘ
この両辺の、「１ではない任意の正数を底とする対数」を取ります。
　log ａ^Ａ＝log ｘ
左辺のAは前に出せる（これも基本公式）ので、
　Ａ・log ａ＝log ｘ
よって
　　Ａ＝log ｘ／log ａ
★より　log[a] x＝log ｘ／log ａ　（証明おわり）

この公式は、関数電卓で任意の底を持つ対数を求める時に必要になるので、覚えておくのをお勧めします。
「電卓に底が２の対数がない！」などとアワテることがなくなります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
a≠1の時に関して定義されない理由がすっきりしました。
底の変換公式と言うやつですね。知っていても使えないのでは意味がありませんね・・・

ところで、正数とはどのような数のことなのでしょうか？

また、私はa≠0の時定義されない事を直感的に理解しているのですが、
log[0]A=x→0^x=Aが成り立たない証明は可能でしょうか？

以上、よろしくお願い致します。

補足

ご回答ありがとうございます。
a≠1の時に関して定義されない理由がすっきりしました。
底の変換公式と言うやつですね。知っていても使えないのでは意味がありませんね・・・

ところで、正数とはどのような数のことなのでしょうか？

また、私はa≠0の時定義されない事を直感的に理解しているのですが、
log[0]A=x→0^x=Aが成り立たない証明は可能でしょうか？

以上、よろしくお願い致します。

回答No.4

alice_44

＞ なぜ、log[底a] x = (log x)/(log a) となるのでしょうか？
＞ また、log x, log a の底は自然対数でしょうか？

指数・対数を定義するやり方には、様々なものがあり、
ひとつを採用すると、他の「定義」は証明を要する「定理」となります。
どれを採用するかは、好き好き(自分ではなく指導教官の)ですかね。

私のお気に入りは、log x = ∫[t が 1 から x まで] (1/t) dt,
log[底が a] x = (log x)/(log a)　で定義する方法です。
指数関数は、y = a^x　⇔　x = log[底が a] y　で定義します。

この定義の下では、指数法則などにも証明が必要ですが、そのかわり、
定義した瞬間から指数・対数が連続関数なので、
いわゆる「指数の拡張」といったゴタゴタした話をしなくて済みます。

ここで、底を省略した「 log 」は、自然対数の意味です。
(常用対数を log と書いてしまう人々とは、宗教的に相容れません。)

回答No.2

alice_44

後半：

log[底a] x という式は、単に (log x)/(log a) の略記です。
a < 0 であれば、分母が定義されないし、
a = 1 であれば、0 で割ることになってしまいますね。

お礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅れまして申し訳ございません。
a≠0の時定義されない事を直感的に理解しているのですが、
log[0]A=x→0^x=Aが成り立たない証明は可能でしょうか？

補足

ご回答ありがとうございます。
log[底a] x=(log x)/(log a) に関しては知らなかったです。

なぜ、log[底a] x=(log x)/(log a) となるのでしょうか？
また、log x，log aの底は自然対数でしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

banakona

前半はあっています（と思います・・・）

後半のａ＝１の件：自然対数ｌｏｇｘは、「ｅを何乗したらｘになるか」ということですよね。

もし底ａが１だったら、「１を何乗したらｘになるか」ということなので、ｘ≠１なら解なし。ｘ＝１なら不定になります。
いずれにせよナンセンス（？）なので除外しているわけです。