logの積分ですが？

質問

例えばlogxを０→αで積分します。これは、y=logxのグラフとx軸、
x＝αで囲まれた面積に他なりませんよね？ところが、x軸はy=logx
の漸近線ですから、最もx軸に近い区分は無限大の面積を持つことに
なるような気がします。また、実際に部分積分などを行うと、

　［logxを含む式］（α→０）となって、xに０を代入することは不
可能ですよね。ところが定積分としてきちんと答えが出ているとき
があります。なぜでしょう？

回答No.2

info22 · ベストアンサー

y=log(x)
の[0,1]
の面積I=∫[0,1] log(x)dx
で与えられますが
y=log(x)の逆関数
x=e^y
x <-> yを入れ替えて
y=e^x
で同じ面積の積分ができることがグラフから明らかですね。
つまり、
I=∫[-∞,0] e^y dy
=∫[-∞,0] e^x dx
=[e^x]_(x=-∞)-[e^x]_(x=0)
=0-1 = -1
と求まりますね。
つまりこの積分領域の面積は無限にはならず
有限値「-1」となるということですね。
（積分が負となるのは関数が負だからで、x軸とy=log(x)で囲まれた面積は
S=∫[0,1] (0-log(x))を積分しないと正にはなりませんね。）

あるxでy=∞となっていても逆関数で積分が存在すれば、
元の積分も同じ面積を求めているだけですから定積分が収束して
積分値が求まる分けです。

定積分が発散する場合は、どんな方法をとっても発散します。

お分かりになりましたでしょうか？

補足

なるほど、逆関数を利用するとうまくいきますね。log０はだめでも
e^∞＝０ですからね。同じ面積になるように関数の見方を変えるとい
うのは１つの手ですね。ありがとうございました。

回答No.3

arrysthmia

ルベーグ積分を勉強すると、話は少し変わってくるのですが、
リーマン積分の範囲では、∫[x=a～b] f(x) dx が定義される為には、
f(x) が閉区間 a≦x≦b で定義されていなければなりません。
∫[x=0～α] (log x) dx は、そうなっていませんね。

リーマン積分で、そのような積分を扱うには、『広義積分』といって、
∫[x=a～b] f(x) dx = lim[u→a+0, s→b-0] ∫[x=u～s] f(x) dx
を ∫[x=a～b] f(x) dx の定義と考えるのです。
u→a+0 は右方極限、s→b-0 は左方極限の意味です。

この定義で考えると、∫[x=0～α] (log x) dx
= lim[u→+0] ∫[x=u～α] (log x) dx
= lim[u→+0] (-α + α log α) - (-u + u log u)
であり、(-u + u log u) に u = 0 が代入できなくても、
u → +0 の極限が収束すれば十分なのです。
実際、lim[u→+0] (-u + u log u) は収束します。

お礼

広義積分ということば自体知らなかったです(笑）
なるほど、原始関数に代入するのではではなくて
ｘ＝０のときに収束する値を考えることにすれば
計算はできますね。でも、これは定義ですから、
極限としてその積分の値が存在することは証明が
必要なんでしょう？ものすごくめんどくさそうで
すね。しかし、大変勉強になりました。
lim[u→+０]（-u+ulogu）が０に収束するのは、
理解できます。

回答No.1

yumi_yumi_mayumi

y=logx　のグラフはご主張のとおり，x→0で-∞へ発散します。ところが，そのときy=logxのグラフとy軸との距離はだんだん近くなります。ですので，x→0の時の面積の増え方は「頭打ち」となり，有限の値に収束します。

補足

要するに級数和の収束のような感じですよね？そういうことだろうとは思いますが、あくまでも感覚的に、x軸に近い区間では面積が無限の長方形ができてしまうような感じがするんです。
要するにｘ＝０を漸近線にもつグラフが０→αの区間で定積分の値として面積を持つというのは、どんな場合でも大丈夫なんでしょうか？その保証はどこから来るのでしょう？また、積分した式にlogｘが残っているとき、ｘ＝０の代入をどう考えたらよいのでしょう？