積分について

質問

y=x^3-2x^2-3xとx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ

x軸と囲まれた部分ってことは、x軸と交わる点を求めるのにy=0として、３次関数を解くと
x=-1,0,3
囲まれた部分ということは、グラフの形からxの範囲が-1～0かと思いました・・・。
それで積分で求めるのかと思いましたが・・・

高校を卒業してからほとんど数学をやっていない者です。
昨日、数学を職としている友人と話をしていたときに、ふと出された問題です・・・。
高校のときは数学が好きだっのに、解けなくてちょっと引っかかっています。

お時間あるときにお教え願えばと思います。
よろしくお願いします。

回答No.3

noname#21219 · ベストアンサー

ほんとすいません!
<<=[x^4/4-2・x^3/3-3・x^2/2](x=-1～0)
=1/4＋2/3-3/2
というのは、間違いでした。

正しくは、[x^4/4-2・x^3/3-3・x^2/2](x=-1～0)
=0-{(-1)^4/4-2(-1)^3/3-3(-1)^2/2}
=-1/4-2/3＋3/2=7/12でした...

ｘの後の値（この場合x=0)を先に代入して、
後の値(x=-1)を各項に-つけて加えるのでした。
確かに面積が-になるはずはありませんよね

お礼

たびたびありがとうございます。
分かりやすい解説ありがとうございました。
これでこの問題納得できました＾＾
ずっと数学やってないと、忘れてしまうものだなぁ・・・とつくづく実感しました。でもたまには数学の勉強をするのも楽しいと思えました。

回答No.2

noname#21219

y=x(x^2-2x-3)=x(x＋1)(x-3)ですが、
このグラフの概形を調べるには、まず
x^2-2x-3=(x-1)^2-4というグラフを考えて、
このグラフは頂点(1,-4)で下に凸です。x軸とは
-1と3で交わります。この関数にxがかかるとどうなるでしょう。
まずx>0では、xがかかっても全体の符合は変わりません。
x=0ではy=0です。x<0では、全体に-をかけることになるから、
グラフが反転するというのが分かると思います。反転するということは、x<0では上に凸になります。結局、Nを崩したような形のグラフ
ですね。よって、面積を求めるならx=-1～0まではy=x^3-2x^2-3x
とx軸:y=0と比べyの方が上にあるからS1=∫(y-0)dx[x=-1～0]
となり、x=0～3ではy=0のほうが上にあるんだから、
S2=∫(0-y)dx[x=0～3]になります。結果はS=S1＋S2です。

積分自体忘れたというなら、例えばS1=∫(x^3-2x^2-3x)dx
=[x^4/4-2・x^3/3-3・x^2/2](x=-1～0)
=1/4＋2/3-3/2
∫x^ndxの不定積分は、x^{n＋1}/(n＋1)です

お礼

なるほど＾＾
詳しく説明していただき、ありがとうございました。
高校でやったような気がします。
これを計算したら
S1=-7/12
S2=45/4
になったのですが（計算間違えていなければ＾＾；）面積を求めるのに負の値でもいいのでしょうか？
もし負の値でもいいということなら、この問題の場合は
-7/12+45/4=32/3
ということでしょうか・・・？

回答No.1

ebinamori

ということは答えてしまうと質問者さんの楽しみを減らすことになるのでヒントを。
まず
y=f(x)=x^3-2x^2-3x
のグラフを書いてみるといいと思います。
そこでｘ軸とf(x)で囲まれる部分を斜線で塗りつぶしてみてください。
次に塗りつぶした箇所の内f(x)の値がｘ軸よりも上の区間はそのまま積分し
f(x)の値がｘ軸よりも下の区間は積分した結果に-1をかけます。
後はそれぞれの値を足すだけです。
しかしこれだとおもしろくないですね。
ここは一つ「数値解析　積分」などを検索し
近似解を導き出すというのもおもしろいかもしれません。
（プログラミングが出来ないと無理だけど）

お礼

解き方のヒントありがとうございました。
私はプログラミングはできないので後者のほうは難しいかもしれませんね・・・。