積分について教えてください。

質問

積分の問題をしているのですが、どうしても下の５問がわかりません。
できるだけ詳しく解答してほしいです。よろしくお願いします。

(1) Y＝X＾２+４X－３とX軸で囲まれた面積を求めるには？
(2) Ｙ＝√Ｘと直線Ｙ＝Ｘで囲まれた面積を求めるには？
(3) Ｙ＝３Ｘ＾２－Ｘ＾３とＸ軸で囲まれた面積を求めるには？
(4) Ｙ＝６Ｘ－Ｘ＾２とＹ＝Ｘ＾２で囲まれた面積を求めるには？
(5) Ｙ＝Ｘ（Ｘ－２）（Ｘ－３）とＸ軸で囲まれた面積を求めるには？

回答No.5

hinebot

#3です。

>x^2+4x-3 = 0 とおくと　解の公式から　x=2±√7

ここで、－を忘れてました。x=-2±√7ですね。 済みません。
答えはA#4さんの通りです。

回答No.4

oshiete_goo

（１）と（４）［実はｘとｙの立場を入れ替えて考えれば（２）も］は典型問題で，教科書などによくある関係式（ほとんど公式）

y=f(x) と y=g(x) とで囲まれる図形の交点から交点までに関する積分に関して，
f(x)-g(x)が2次式のときは，f(x)-g(x)=k(x-α)(x-β)　[kは０でない定数(引いた関数の2次の項の係数)]と書けるとして，
積分Ｉ＝∫_(α to β){f(x)-g(x)}dx＝k∫_(α to β)(x-α)(x-β)dx=(-k/6)(β-α)^3
が使えます．

（１）だと，x軸との交点のｘ座標　α=-2-√7，β=-2＋√7　として
面積Ｓ＝－∫_(α to β)(x^2+4x-3)dx ＝－∫_(α to β)(x-α)(x-β)dx＝(＋1／6)(β-α)^3＝(1／6){2√7}^3＝(28√7)/3
などとなりそうです．

回答No.3

hinebot

試しに(1)だけやってみます。
(2)～(5)も同じ要領でできます。（A#2さんの注意点を忘れずに）

x^2+4x-3 = 0 とおくと　解の公式から　x=2±√7
よって、Y＝x＾２+４x－３とX軸との交点の座標は(2－√7,0)と(2＋√7,0)
つまり、2-√7 ～ 2+√7 が積分範囲になる。
Y＝x＾２+４x－３　は下に凸なグラフなので、x軸（Y=0)の方が上になる。
従って求める面積Ｓは
Ｓ＝(2-√7→ 2+√7)∫{0-(x＾２+４x－３)}dx
　＝-(2-√7→ 2+√7)∫(x＾２+４x－３)dx
＝-(2-√7→ 2+√7)[1/3x^3+2x^2-3x]
ここで、2-√7 =a,2+√7=b とおくと
a+b = 4, a-b = -2√7 ab=-3 となることに注意して
Ｓ＝-{1/3(a^3-b^3)+2(a^2-b^2)-3(a-b)}
　＝-{1/3(a-b)(a^2+ab+b^2)+2(a-b)(a+b)-3(a-b)}
＝2√7{1/3(a^2+b^2-3) +8 -3}
＝2√7{1/3((a+b)^2-2ab -3) +5}
　＝2√7{1/3(16+6-3) +5} = (38√7)/3 +10√7 = (68√7)/3
となります。（計算間違いしてなければですが）

回答No.2

eratos

私も、ヒントだけ
#1の方もおっしゃっていますが、補足まで申し上げますと
もし積分結果がマイナスになるところを絶対値を取って正数にしなくてはいけないので、
x軸を横切る点ごとに、分けて積分しなくてはいけませんよ
たとえば、（５）ならｘ＝0,2,3でx軸と交わるので、
ｘを0→2と2→3の2つの区間に分けて積分すればいいわけです

回答No.1

First_Noel

いつものことながら私はヒントのみをば．

（１）（３）（５）は，単に積分すれば良いです．
（２）（４）は，関数の前者をｆ（ｘ），後者をｇ（ｘ）とすれば，
ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）の積分をすれば良いです．
求めるものが面積なので，もし積分結果がマイナスになれば，
絶対値を取って正数にして下さい．

注：ｘ軸とは，ｇ（ｘ）＝０，ですので，全て同じくｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）の
　　積分と言えます．