回転体の積分問題。

質問

回転体の積分問題で、

y=1/(1+x)とx軸とy軸と直線x=1で囲まれた図形をx軸の周りに１回転させて出来る立体の体積

を求めたいのですが、y=1/(1+x)のグラフが書けません。
グラフの書き方及び、解答をしていただけると嬉しいです。

・

また、

y=(x+1)(x-2)とx軸で囲まれた図形をx軸の周りに１回転させてできる立体の体積

は、81/10πで合っていますでしょうか?

解答お願いいたします。

回答No.2

debut · ベストアンサー

分数関数　y=a/(x-p)+q のグラフは、x=p,y=q を漸近線とする双曲線になります。（y=a/x のグラフを、x軸方向にp,y軸方向にq だけ平行移動したもの）
問題の式はこれと照らし合わせると、漸近線が直線x=-1,y=0(x軸)である双曲線
になります。
次に、体積ですが、グラフより　半径 1/(1+x) の円の面積を 0から1まで積分
することになります。
　V=π∫[0,1]1/(1+x)^2dx　を計算すればよいです。

＞y=(x+1)(x-2)とx軸で囲まれた図形をx軸の周りに１回転させてできる立体の体積
＞は、81/10πで合っていますでしょうか?
　　はい、正解です。

お礼

ありがとうございました。
まだ学校で二次曲線を習っていないので、反比例のグラフだというのに中学校一年生以来でちっとも気付きませんでした(苦笑)。ありがとうございます。
ご丁寧な解説、本当に感謝です。

回答No.1

graduate_student

y=1/(1+x)ですが，x=0のときy=0,x=1のときy=1/2，…x=∞のときy=0，x=-1が漸近線というように，具体的に値を当てはめていくとグラフが書けます．

＞y=(x+1)(x-2)とx軸で囲まれた図形をx軸の周りに１回転させてできる立体の体積

V=∫πy^2dx (下限x=-1, 上限x=2)
を計算すればいいです．

お礼

ありがとうございます。
そうですよね、いざとなったら値を代入すればいいんですよね(笑)。知らない関数を見ると……頭が固いもので、だめですね(苦笑)。
感謝です。