回転体の体積の問題です。

質問

y=x^2と直線L：y=xとで囲まれた部分を直線Lのまわりに1回転して出来る立体の体積を求めよ。というもんだいなのですがおしえてください。お願いします。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

考え方の参考まで

y=x＾2 は傾き(±x)の直線の集合だと考えれば
y=(±x)*(±x), ですから傾き角度はθ=tan＾-1|x|
y上のx=xで原点からの線分の長さrは、
r=√(x＾2+x＾4)=x√(1+x＾2)
一方、L:y=x の傾きは、φ=π/4=45度　だから
ｙからLへの垂線の長さHは、
H=rsin(φ-θ)
以上はx軸上での計算だからL軸上をtすると
x=t/√2 だから、（0≦t≦√2)
θ=tan＾-1|t/√2|
r=√(t＾2/2+t＾4/4)=(t/√2)*√(1+t＾2/2)
ΔS=πH＾2
V=π∫(t＾2/2)(1+t＾2/2)sin＾2(π/4-tan＾-1(t/√2))dt
tan-1(t/√2)=θ, t=√2tanθ, 0≦θ≦π/4
dt=√2/(cosθ)＾2dθ　と置きましょう。
sin＾2(π/4-θ)={sin(π/4)cosθ-cos(π/4)sinθ}＾2
cos(π/4)=sin(π/4)=1/√2 だから、
=(cosθ-sinθ)＾2=(1/2){sin＾2θ-2sinθcosθ+cos＾2θ}

tan＾2θ(1+tan＾2θ)sin＾2(π/4-θ)(√2/(cosθ)＾2)
=(√2/2)tan＾2θ(1+tan＾2θ){tan＾2θ-2tanθ+1}
=(1/√2){tan＾6θ-2tan＾5θ+2tan＾4θ-2tan＾3θ+tan＾2θ}
ということで整理すると、
V=(π/√2)∫[0～π/4]{tan＾6θ-2tan＾5θ+2tan＾4θ
-2tan＾3θ+tan＾2θ}dθ

ここで、∫tan＾nθdθ の漸近式を利用すると、
∫tan＾6θdθ=tan＾5θ/5 -tan＾3θ/3+ tanθ-θ
2∫tan＾4θdθ=2(tan＾3θ/3- tanθ+θ)
∫tan＾2θdθ=tanθ-θ
2∫tan＾5θdθ=2{tan＾4θ/4-tan＾2θ/2-log(cosθ)}
2∫tan＾3θdθ=2{tan＾2θ/2+log(cosθ)}
だから、
V=(π/√2)*{tan＾5θ/5 -tan＾4θ/2+tan＾3θ/3}[0～π/4]
=(π/√2)*{1/5 -1/2+1/3}
=(π/√2)*{1/30}=0.074
になるんですね。

eatern27さんの式で検算してみましょう。
π∫[x=0 to 1]{(x-x^2)/√2}^2 {(1+2x)/√2}dx
=(π/2√2)∫(x^2-2x^3+x^4)(1+2x)dx
=(π/2√2)∫(x^2-2x^3+x^4+2x^3-4x^4+2x^5)dx
=(π/2√2)∫(x^2-3x^4+2x^5)dx
=(π/2√2){x^3/3-3x^5/5+2x＾6/6}[x=1]
=(π/2√2){1/3-3/5+1/3}=(π/2√2)(10-9)/15
=(π/30√2)=0.074
あってますね。

回答No.1

eatern27

原点と点P(1,1)の間でy=x^2上にある点をA、A(x,x^2)からy=xに下ろした垂線の足をH、点B(x,x)、OH=t、AH=hとします。
※y=x^2とy=xと点A,B,Hを図示した方が分かりやすいと思います。

h=|x-x^2|/√2=(x-x^2)/√2 (点と直線の距離)

√2x=OB=OH+HB=OH+AH=t+hなので
t=√2x-h=(x+x^2)/√2
両辺をxで微分して
dt/dx=(1+2x)/√2
∴dt={(1+2x)/√2}dt

V=π∫[t=0 to √2]h^2dt
=π∫[x=0 to 1]{(x+x^2)/√2}^2 {(1+2x)/√2}dx

∫の中がxの5次式なので、後は簡単です。