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回転体の体積を求める問題です
閲覧ありがとうございます。 曲線y = x^2 - 2xと 直線y = xで囲まれた図形を x軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を求めよ という問題です。 この場合、 V = π∫f(x)^2 dxを使うのはわかります。 しかし、x軸の下の部分、つまりyが負の値の部分を引いたりしなければならないのでしょうか? (画像あります。見てください。) また、引かなければならない場合、どのような処理をすれば良いのでしょうか? 説明下手ですみません。 よろしければ回答お願いします。
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#2です。 A#2の補足質問の回答 > V2 = π∫[1,2](x^2)^2 dx > となる理由がわかりません。 転記ミスです。2重に二乗してしまいました。 > V2 = π∫[1,2](x^2) dx これが正しいです。 訂正願います。 計算は別にやっていますので、Vの方は正しいです。 V1=(8/15)π,V2=(7/3)π,V3=(19/5)π V=V1+V2+V3=(20/3)π [別解] V1は同じ V2+V3は空洞部分を含めた体積から空洞部を引く計算をしても良いです。 V2+V3=π∫[1,3] (x^2)dx - π∫[2,3] {x(x-2)}^2 dx
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- gohtraw
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#1です。2<x<=3では中空でしたね。失礼しました。
- info22
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添付した図を見て下さい。 黄色に塗りつぶした領域が回転体の断面になる範囲です。 (1)x=0~1の区間は y=-x(x-2)で積分します。 V1=π∫[0,1] {-x(x-2)}^2 dx (2)x=1~2の区間は y=x で積分します。 V2=π∫[1,2] (x^2)^2 dx (3)x=2~3の区間は 外側が y=x , 内側が y=x(x-2) の中空の回転体 の積分になります。 V3=π∫[2,3] [(x^2)-{x(x-2)}^2] dx 回転体全体の体積Vは上記の(1),(2),(3)の部分の体積の和となり ます。 V = V1 + V2 + V3 ここまでやれば、後の積分は自力で出来ますね。 やってみて分からなければ、計算過程を補足に書いて、分からない箇所を 質問して下さい。 V=(20/3)πとなればOKです。
補足
いつもありがとうございます。 質問があります。 V2 = π∫[1,2](x^2)^2 dx となる理由がわかりません。 V2 = π∫[1,2](x^2) dx だと思ったのですがどうしてこのようになるのでしょうか? お忙しいとは思いますがよろしくお願いします。 すみません。
- gohtraw
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負の部分を引くのではありません。|x^2-2x|と|x|の大小を比較して、大きい方を回転半径として採用する必要があります。 両者を比較すると0<=x<=1の範囲では|x^2-2x|>=|x|となるのではないかと思います。よってこの範囲ではf(x)=x^2-2x、1<x<=3ではf(x)=xとしてご質問中の積分をすればいいと思います。
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お礼
お礼遅くなってすみません。 今回も助かりました。 ありがとうございました。