回転体の体積の問題

質問

次のような問題がある大学の解析の試験で出題されました。

xy平面上において(√3,0)(0,1)を結ぶ線分を、まずy軸を軸として回転させてできた回転体を、さらにx軸を軸として回転させた結果できる立体の体積を求めよ。

球体の中に空洞ができる、ということはなんとなく理解したのですが、空洞の体積の求め方が分かりません。
どなたかご教授願いますm(__)m

回答No.2

info22 · ベストアンサー

＞あと、V1は　4√3π/3　です。
ではありません。
＞V1=(半径√3の球の体積)=(4/3)π(√3)^2=4π

V1=(半径√3の球の体積)=(4/3)π(√3)^3=(4√3)π
でした。
失礼しました。訂正します。

XY座標で
直線y=1-|x|/√3 …（1)
これは唐傘のような回転体の紙の部分の断面の式で
X軸との交点をP(-√3,0),Q(√3,0)で
唐傘の底面の半径は√3です。この円板をX時期の回りに回転させれば
半径√3の球体ができます。

原点を中心とする
半径√3の円R:x^2+y^2=3
と(1)に接する円S
を描いて下さい。
円Sの接点をA,Bとすると
A(-√3/4,3/4),B(√3/4,3/4)
空洞部分のV2の回転体の体積は
P-A-B-QをX軸の回りに回転してできる立体の体積になります。
A-B部分はSの円弧部分
P-A、B-Q部分は(1)の直線部分から構成されます。
立体の対称性からx>0の立体の体積を求めて2倍すれば良いですね。

従って、#1に書いた積分の式で
V2が与えられます。

あとはご自力でお考え下さい。
（大学の試験問題の丸投げですので丸解答はこのサイトの禁止事項となっています。自力の解答を作って頂いてチェック依頼の形式ならOKかと思います。）

お礼

詳しい解答ありがとうございます。
A-B部分が円弧になるんですか；なぜなんでしょう。考えてみます。

一応「球体の中に空洞～」が自分の解答のつもりだったんですけどね^^;
今後気をつけます。ご指摘ありがとうございます。

回答No.1

info22

体積V=V1-V2
V1=(半径√3の球の体積)=(4/3)π(√3)^2=4π
V2=(空洞の体積)
=2π[∫[0,√3/4] (3/4-x^2)dx+∫[√3/4,√3] (1-x/√3)^2 dx]
=…
=13√3π/32

V=V1-V2=…

あとは自力で計算して下さい。

補足

V2の求め方をできたら詳しく教えてください<m(__)m>
あと、V1は　4√3π/3　です。