二重積分を使った回転体の体積の公式

質問

xy平面上のy≧0の部分の領域Dをx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積が　2Π∬Dydxdy　で表せるらしいのですが、これがどうして成り立つのかが分かりません。どなたか教えてくれますか？よろしくお願いします。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

2π∬Dydxdyを知らないものとします。
領域Dがa≦x≦b、f(x)≦y≦g(x)で表わされるものとします。

領域Dをｘ軸のまわりに一回転して出来る回転体をｘ軸に垂直な
平面で切った図形の面積はπg(x)^2―πf(x)^2＝π{g(x)^2―f(x)^2}
です。
これをｘ軸方向に積分して回転体の体積Vを求めると、
V＝∫(a≦x≦b)π{g(x)^2―f(x)^2}dx
＝π∫(a≦x≦b)[y^2](f(x)→g(y))dx
＝π∫(a≦x≦b)∫(f(x)≦y≦g(x))2ydydx
＝2π∫(a≦x≦b)∫(f(x)≦y≦g(x))ydydx
＝2π∫∫Dydydx

Dが複雑な図形で、Dの境界とｘ軸と垂直な直線との交点が２個より
多い時は、Dを分割して考えれば良いと思います。

直感的には、Dをｘ軸、ｙ軸に平行な直線たちで無限に細かい四角形た
ちに分割します。一つの小さい四角形[x,x+dx]×[y,y+dy]をｘ軸の回り
に１回転してできるものすごい細いパイプ状の回転体の体積は、近似的
に2πy×dxdyと考えられます。（面積dxdyの四角形を半径yの円周上に
回転）これをD全体でかき集めれば、
V＝2π∫∫Dydydx

あるいは、Dの重心の座標を(x0,y0)とすると、
V＝（Dの面積）×（y0の移動距離）＝（Dの面積）×2πy0
もあります。（かの有名なパップス・ギュルダンの定理）

お礼

ありがとうございます。とてもご丁寧に教えてくださったおかげでよく理解できました。何気ない疑問点がパップスギュルダンの定理にまでつながることが分かってビックリしました。ありがとうございます。

回答No.1

mis_take

Ｄが g(x)≦y≦f(x),a≦x≦b のとき，逐次積分で1回積分した後の式と回転体の面積の公式を比べると一致しますね。
という回答ではいけませんか。
もっと一般の図形で，ということですか？
あるいは直感的な説明ですか？

補足

ありがとうございます。確かに数式が 2π∬Dydxdy　と与えられていれば1変数の回転体公式になりました。では図形的に回転体の立体が与えられて、最終的にこの式を導くためにはどのようにすればよいでしょうか？お教えくださると助かります。