回転してできる体積

質問

x=a,x=b(a<b),x軸,y=f(x)で囲まれる図形をx軸で回転してできる体積Vは

V=π∫(a→b){f(x)}^2 dx
で与えられる。

それの応用として、
(問)y=x+2,y=x^2で囲まれる図形を、y=x+2で回転してできる体積を求めよ.
という問題を考える。
注;ハート型の半分を回転させることに注意

軸が傾いていることと、半ハート型の回転により、分けて積分しなければいけないので、計算がいやらしい。

ところで、xy平面上に直線lがあり、lとある曲線で囲まれる閉領域Ｄがある．
このとき、Ｄをlを軸に回転してできる体積Vは
V=2π∬(D)d(P)dxdy
で求めてみたところ、どうやら答えが同じになる。

ここでd(P)とは
xy平面上の点P(x,y)に対して
d(P):=直線lと点Ｐとの距離

これを使うと、この問題の計算が格段に楽になる。
ただ問題なのは、この公式は正しいのか？ということである。
だれか、この公式が正しい、または間違っていること分かる方、解答をお願いします。
（lがx軸に平行なときは一致することは自分で確かめてみました）

回答No.1

info22 · ベストアンサー

> xy平面上に直線lがあり、lとある曲線で囲まれる閉領域Ｄ
> V=2π∬(D)d(P)dxdy
> d(P):=直線lと点Ｐとの距離
は正しくないですね。
正しい式は次のようにヤコビアン|J|が入ると思います。
V＝2π∬(D)d(P)dXdY＝2π∬(D)d(P)*|J|dxdy
ここで、XY座標は,x軸がX軸(回転体の回転軸)に一致するまで回転（回転角θ)させた座標系です。|J|はヤコビアンです。

>lがx軸に平行なときは一致することは自分で確かめてみました
この場合は|J|=1ですから、正しい式ですね。

（参考）
http://homepage1.nifty.com/kumabox/Jacobi_1.htm
http://www1.ocn.ne.jp/~zodiac/misc/cg/trans.html

お礼

変数変換とヤコビアンに関するところを復習して、自分なりに証明をつけてみました。
確かにヤコビアンがいりました。
これで、疑問がひとつ減りました。
ありがとうございました。