体積

質問

曲線y=sinx(0≦x≦π）とx軸とで囲まれた図形をｘ軸まわりに1回転してできる立体の体積を求める問題

1回転すると楕円形みたいな形になりますが。
どうやって体積を求めるのでしょうか？
Ｖ＝∫π(y＾2)dxというしきになるのが分かりません。

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

＃２さんの説明は、回転体の体積を積分で求める方法を示した良い説明と思います。
　それを補足するために、図示されたサイトを探してみましたので、下記URLを＃２さんの説明の参考にしてみてください。

http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/museum/infinity/page82_6.html　の最後のほうにある「次に，やはり対称性のよい図形として回転体の体積を議論してみましょう。 」以降を見てください。

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku2/sekibunh/cube/cube.htm

　基本は、断面積を求めることです。
　そして、積分するときは、途中で断面積が変化しても、dxという非常に薄い範囲では、柱（上面と仮面の大きさ・形状が変わらないもの）と見なして、（断面積)×dx　として薄い円板の体積を求めることができることです。（全体の体積を求めるときは、これをすべて足し合わせる（定積分する)ことで求められます。）
　あとは、この問題では回転体の体積についてのものですので、回転体はその軸と垂直な面できれば、その断面は、必ず、円になりますから、その円の半径が分かればよいということです。（この問題では、その円の半径がｙになるということです。）

　分からなければ、また聞いてください。

お礼

何度も図を見たら理解できました。
どうもありがとうございます。

回答No.3

Quattro99

> ｙはπr(＾2)の面積の半径と考えるのでしょうか？
そうです。y=sinxをx軸まわりに回転させた立体を考えるのですから、それを輪切りにした円の半径はyでありsinxです。y=sinx上の点(x,y)=(x,sinx)を使って考えるわけです。

回答No.2

sanori

＞＞＞
Ｖ＝∫π(y＾2)dxというしきになるのが分かりません。

なるほど。
お気持ち、よく分かります。

では、最も簡単な例を挙げてみましょう。
ｙ＝ｒ　（ｒは定数）という関数で、ｘの範囲は０からｈとします。
これをｘ軸の周りに１回転します。
すると、底面積がπｒ^2、高さがｈの円柱になりますから、
体積はπｈｒ^2になるはずです。

円柱を輪切りにして、厚さｄｘの非常に薄い円板に分けます。
すると、その円板の体積は、πｒ^2・ｄｘです。
円板の体積を全部足し算（積分）すれば円柱の体積になります。
∫[x=0→h] πｙ^2・ｄｘ　＝　∫[x=0→h] πｒ^2・ｄｘ
　＝ πｒ^2・∫[x=0→h]ｄｘ　　　・・・（πｒ^2・∫[x=0→h]１・ｄｘのこと）
　＝ πｒ^2・［ｘ］(x=0→h)
　＝ πｒ^2・［ｈ－０］
　＝ πｈｒ^2
ほらね？
見事に一致しました。

次に、円錐もやってみましょう。
ｙ＝ｒｘ／ｈ　（ｒ、ｈは定数）という一次関数で、ｘの範囲を０～ｈとします。
ｘ軸の周りに１回転すると、円錐になることはイメージできますね？
底面の半径（ｘ＝ｈのときのｙの値）はｒです。
円錐の体積の公式より、
底面積×高さ÷３＝πｈｒ^2／３
　（同じ底面積、高さの円柱の体積の３分の１）
となるはずです。

これもやはり輪切りにして、厚さｄｘの非常に薄い円板に分けます。
１枚の円板の半径はｘによって変わり、それがｙ（＝ｒｘ／ｈ）です。
よって、１枚の円板の半径は、πｙ^2　＝　π（ｒｘ／ｈ）^2　です。
１枚の円板の体積は厚さｄｘを掛けて　π（ｒｘ／ｈ）^2・ｄｘ　です。
これをｘ＝０～ｈの範囲で全部足し算（積分）すると、求める体積になります。
∫[x=0→h]πｙ^2 ｄｘ　＝　∫[x=0→h]π（ｒｘ／ｈ）^2 ｄｘ
　＝　πｒ^2／ｈ^2∫[x=0→h]ｘ^2 ｄｘ
　＝　πｒ^2／ｈ^2［ｘ^3／３］(x=0→h)
　＝　πｒ^2／ｈ^2［ｈ^3／３－０^3／３］
　＝　πｈｒ^2／３

ほらね？
見事に一致しました。

回答No.1

Quattro99

x軸に垂直な面で輪切りにした図形（この問題の場合、円）の面積を積分しているということです。

補足

ｙはπr(＾2)の面積の半径と考えるのでしょうか？