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体積

曲線y=sinx(0≦x≦π)とx軸とで囲まれた図形をx軸まわりに1回転してできる立体の体積を求める問題 1回転すると楕円形みたいな形になりますが。 どうやって体積を求めるのでしょうか? V=∫π(y^2)dxというしきになるのが分かりません。

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  • 回答No.4

 #2さんの説明は、回転体の体積を積分で求める方法を示した良い説明と思います。  それを補足するために、図示されたサイトを探してみましたので、下記URLを#2さんの説明の参考にしてみてください。 http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/museum/infinity/page82_6.html の最後のほうにある「次に,やはり対称性のよい図形として回転体の体積を議論してみましょう。 」以降を見てください。 http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku2/sekibunh/cube/cube.htm  基本は、断面積を求めることです。  そして、積分するときは、途中で断面積が変化しても、dxという非常に薄い範囲では、柱(上面と仮面の大きさ・形状が変わらないもの)と見なして、(断面積)×dx として薄い円板の体積を求めることができることです。(全体の体積を求めるときは、これをすべて足し合わせる(定積分する)ことで求められます。)  あとは、この問題では回転体の体積についてのものですので、回転体はその軸と垂直な面できれば、その断面は、必ず、円になりますから、その円の半径が分かればよいということです。(この問題では、その円の半径がyになるということです。)  分からなければ、また聞いてください。

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質問者からのお礼

何度も図を見たら理解できました。 どうもありがとうございます。

その他の回答 (3)

  • 回答No.3

> yはπr(^2)の面積の半径と考えるのでしょうか? そうです。y=sinxをx軸まわりに回転させた立体を考えるのですから、それを輪切りにした円の半径はyでありsinxです。y=sinx上の点(x,y)=(x,sinx)を使って考えるわけです。

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  • 回答No.2
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

>>> V=∫π(y^2)dxというしきになるのが分かりません。 なるほど。 お気持ち、よく分かります。 では、最も簡単な例を挙げてみましょう。 y=r (rは定数)という関数で、xの範囲は0からhとします。 これをx軸の周りに1回転します。 すると、底面積がπr^2、高さがhの円柱になりますから、 体積はπhr^2になるはずです。 円柱を輪切りにして、厚さdxの非常に薄い円板に分けます。 すると、その円板の体積は、πr^2・dxです。 円板の体積を全部足し算(積分)すれば円柱の体積になります。 ∫[x=0→h] πy^2・dx = ∫[x=0→h] πr^2・dx  = πr^2・∫[x=0→h]dx   ・・・(πr^2・∫[x=0→h]1・dxのこと)  = πr^2・[x](x=0→h)  = πr^2・[h-0]  = πhr^2 ほらね? 見事に一致しました。 次に、円錐もやってみましょう。 y=rx/h (r、hは定数)という一次関数で、xの範囲を0~hとします。 x軸の周りに1回転すると、円錐になることはイメージできますね? 底面の半径(x=hのときのyの値)はrです。 円錐の体積の公式より、 底面積×高さ÷3=πhr^2/3  (同じ底面積、高さの円柱の体積の3分の1) となるはずです。 これもやはり輪切りにして、厚さdxの非常に薄い円板に分けます。 1枚の円板の半径はxによって変わり、それがy(=rx/h)です。 よって、1枚の円板の半径は、πy^2 = π(rx/h)^2 です。 1枚の円板の体積は厚さdxを掛けて π(rx/h)^2・dx です。 これをx=0~hの範囲で全部足し算(積分)すると、求める体積になります。 ∫[x=0→h]πy^2 dx = ∫[x=0→h]π(rx/h)^2 dx  = πr^2/h^2∫[x=0→h]x^2 dx  = πr^2/h^2[x^3/3](x=0→h)  = πr^2/h^2[h^3/3-0^3/3]  = πhr^2/3 ほらね? 見事に一致しました。

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  • 回答No.1

x軸に垂直な面で輪切りにした図形(この問題の場合、円)の面積を積分しているということです。

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質問者からの補足

yはπr(^2)の面積の半径と考えるのでしょうか?

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