積分 体積 斜めで切断

質問

直線L:y＝mxと曲線y＝mx＋sinx(0≦x≦π)で囲まれる図形を、直線Lの周りに一回転してできる立体の体積を求めよ。

という問題です。

よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

No.2です。

ANo.2の訂正と補足について

ANo.2の14行目の
r^2（x=aの位置の回転半径の自乗）の式に誤りがありました。
×：r^2=((a-b)^2)√(1+(1/m)^2)=((sin(b))^2)*m/(1+m^2)^(3/2)
○：r^2=((a-b)^2)(1+(1/m)^2)=((sin(b))^2)/(1+m^2)
に訂正します。

16行目の積分の式
>V=π∫[0→π√(1+m^2)] r^2 ds
のr^2に代入した17行目以降の積分の前の係数が全て影響を受けます。

ANo.2の17行目以降を改めて書き直すと以下のようになります。
------17行目以降(訂正した式)---------
=π∫[0→π√(1+m^2)]((sin(b))^2)/(1+m^2) ds
=π/(1+m^2)*∫[0→π]((sin(b))^2) (ds/da)da
=π/(1+m^2)*∫[0→π]((sin(b))^2) √(1+m^2)da
=π/(1+m^2)^(1/2)*∫[0→π]((sin(b))^2) (da/db)db
=π/(1+m^2)^(1/2)*∫[0→π]((sin(b))^2)(1+cos(b)*(m/(1+m^2)))db
=π/(1+m^2)^(3/2)*∫[0→π](1/2)(1-cos(2b))(1+m^2+mcos(b))db
=(1/2)π/(1+m^2)^(3/2)
*{(1+m^2)∫[0→π](1-cos(2b))db
+m∫[0→π](cos(b)-cos(b)cos(2b))db}
=(1/2)π/(1+m^2)^(3/2)*{(1+m^2)π-m∫[0→π]cos(b)cos(2b)db}
=(1/2)π/(1+m^2)^(3/2)
*{(1+m^2)π-(m/2)∫[0→π](cos(3b)+cos(b))db}
=(1/2)π/(1+m^2)^(3/2)*{(1+m^2)π-0}
=(π^2)/(2√(1+m^2)) ...(答え)

(授業の答えに一致してますね。)

解き方や計算手順は合ってるから、自分で解くつもりで理解しながら順に計算を追っていけば計算ミス位気がつくかと思います。

つまらない凡ミスでお騒がせしました！
ちゃんと解答を理解しながら追ってみてください。

[ポイント]
積分変数sを被積分関数中のbとどう対応させるかですが、被積分関数中のbをsで表すか,積分変数sを置換でbに持っていくかのどちらかです。
前者は困難なので,後者の方法を採用するのが正解でしょう。
s→a→bと2段構えで積分変数を置換してやるとスムーズに積分変数を被積分関数の中の変数bにでき、積分が実行できた訳です。

お礼

ありがとうございます！自分は(1/2)π/(1+m^2)^(3/2)
*{(1+m^2)∫[0→π](1-cos(2b))db
+m∫[0→π](cos(b)-cos(b)cos(2b))db}まで一緒で、そこから計算ミスしていただけで、回答者さんのおかげでミスがわかりました。

回答No.4

k14i12d

私の点の置き方だと誤解をうけそうですね。
Qをまずさきにおいて、そこからLにおろした垂線のLとの交点をPとしていますよ。
まず0からπまで動いたとき、Lと曲線は途中で交わらないことは明らかですよね。
さてQはx=uのとき、(u,mu+sinu)ですので、y=mxとの距離はヘッセの公式(点と直線の距離)を使って sinu/√[(m^2)+1] ←(1)とわかります。なお、sinu>0は範囲から明らかなので、絶対値もとれます。
これをYとおいときます。
次にOPの距離ですが、Lに垂直な原点を通る直線L'をかんがえると、PQ//L'よりOPがL'とQとの距離と同じであるとわかります。
(ちなみにQが(u,～)のときのPの座標を考えるのは面倒なので、上のような考え方でOPを求めます。)
よって、L'はy=-x/mは明らかなので、
同様にヘッセの公式を用いて、u√[(m^2)+1]+msinu/√[(m^2)+1] ←(2)
とわかります。
これをXとおきます。
すると考える体積はπ ∫Y^2 dX ←＊と表されますよね。区間は最終的にはuの関数として処理するので前もって0→πとしときます。以降区間は省略。計算も√の中身は省略。π ∫なども省略。
まず、(2)からdX=(√～+mcosu/√～)du
がわかり、これと(1)より、＊は
[(sinu)^2]/√～+[m(cosu)(sinu)^2]/(√～)^3
=(1-cos2u)/2√～+～ ←(3)
～の部分は変形しないので省略した箇所です。
ここまできたら積分はらくです。
不定積分が
u/2√～ -sin2u/4+[m(sinu)^3]/3(√～)^3
uの値を入れて、π/2√(m^2+1)となり、省略していたπをかけて、
π^2/2√(m^2+1)を得ます。
(3)は左側はcosの2倍角、右側は合成関数の微分ととらえて求めました。
ちなみに(3)まできたら、不定積分の結果はuとsinが残るとわかるので、sinの項は適当に計算してしまっても大丈夫でしょう笑
省略しすぎてわかりづらいでしょうか？

お礼

解法が手に取るようにわかりやすい回答ありがとうございます。

回答No.2

info22_

sをy=mxに沿って測った原点からの距離、aをsのx軸への投影、sにおける回転体半径をrとすると
s=a√(1+m^2)
ds/da=√(1+m^2)
a:0→πの時s:0→π√(1+m^2)
sの時のy=mxの法線:y=-((x-a)/m)+ma
法線とy=mx+sin(x)との交点のx座標をbとすると
mb+sin(b)=-((b-a)/m)+ma
b((1+m^2)/m)+sin(b)=a(1+m^2)/m
a-b=sin(b)*m/(1+m^2)
全微分すると
da=db(1+cos(b)*(m/(1+m^2)))
a:0→πのときb:0→π
r^2=((a-b)^2)√(1+(1/m)^2)=((sin(b))^2)*m/(1+m^2)^(3/2)
より
V=π∫[0→π√(1+m^2)] r^2 ds
=π∫[0→π√(1+m^2)]((sin(b))^2)*m/(1+m^2)^(3/2) ds
=πm/(1+m^2)^(3/2)*∫[0→π]((sin(b))^2) (ds/da)da
=πm/(1+m^2)^(3/2)*∫[0→π]((sin(b))^2) √(1+m^2)da
=πm/(1+m^2)*∫[0→π]((sin(b))^2) (da/db)db
=πm/(1+m^2)*∫[0→π]((sin(b))^2)(1+cos(b)*(m/(1+m^2)))db
=πm/(1+m^2)^2*∫[0→π](1/2)(1-cos(2b))(1+m^2+mcos(b))db
=(1/2)πm/(1+m^2)^2
*{(1+m^2)∫[0→π](1-cos(2b))db
+m∫[0→π](cos(b)-cos(b)cos(2b))db}
=(1/2)πm/(1+m^2)^2*{(1+m^2)π-m∫[0→π]cos(b)cos(2b)db}
=(1/2)πm/(1+m^2)^2*{(1+m^2)π-(m/2)∫[0→π](cos(3b)+cos(b))db}
=(1/2)πm/(1+m^2)^2*{(1+m^2)π-0}
=m(π^2)/(2(1+m^2)) ...(答え)

補足

授業では答えは(π^2)/(2(1+m^2)^(1/2))でしたが、途中式をたどっていくうちにどうしてもこの答えに辿り着きませんでした。

解答者さんと違う・・・。

三行目から違うような・・・。

回答No.1

k14i12d

y=mx上の点をP、y=mx+sinx上の点をQとしてOP=X、PQ=Yとかおいて、X、Yを媒介変数uで表すことを考える。
あとは、媒介変数になったことによる積分区間に注意して積分する。
媒介変数表示にするには、具体的には、点と直線の距離を用いると簡単に出来ると思います。
あとは、回転行列で座標を変換させたりなども考えられますが、式じたいそこまで複雑ではないので、媒介変数で十分イメージはできるでしょう。
具体的な計算式もかいて欲しいならもう一度聞いて下さい。

補足

途中式及び答えをお願いします。