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高校数学III 積分法 (回転体の体積)
早速ですが、「アステロイド x=(cosx)3乗、y=(sinx)3乗 (0≦θ≦π) とx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ」という問題です。立式から宜しくお願いします。念のため問題文の画像を載せたツイートのリンクを書いておきます(https://twitter.com/iclouduserishii/status/520587173989330945)
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V=∫[-1,1] πy^2 dx =π∫[π,0] (sinθ)^6 ・3(cosθ)^2・(-sinθ) dθ =3π∫[π,0] (1-(cosθ)^2)^3・(cosθ)^2d(cosθ) cosθ=tとおくと =3π∫[-1,1] (1-t^2)^3・t^2 dt =6π∫[0,1] (1-t^2)^3・t^2 dt =6π∫[0,1] (t^2-3t^4+3t^6-t^8) dt =6π[t^3/3-3t^5/5+3t^7/7-t^9/9][0,1] =6π[(1/3)-(3/5)+(3/7)-9)] =(32/105)π …(答)
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- info222_
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No.1です。 最後から2行目の式に転記ミスがありましたので訂正します。 誤： =6π[(1/3)-(3/5)+(3/7)-9)] 正： =6π[(1/3)-(3/5)+(3/7)-(1/9)] なお、一行だけの入力ミスなので答えの方は合っています。
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お礼
ご丁寧に有難うございます。とても助かりました。また機会がありましたら宜しくお願いします。