【数学】大学入試問題【回転体の体積】

質問

いつもお世話になっています。
回転体の体積の問題を解きました。
添削お願いします。

【問題】
実数kは0≦k≦2πを満たすとする。
曲線y=√｜x-k｜sinx/2 (0≦x≦2π)とx軸で囲まれた図形をx軸の周りに1回転させて出来る回転体の体積をv(k)とする。
このとき次の問いに答えなさい。(√がかかっているのは|x-k|だけです。)

(1) v(k)を求めなさい。
(2) v(k)の最小値を求めなさい。

(1)について
v(k)
=π∫[0,2π]f(x)^2dx
=π∫[0,2π](|x-k|sin~x/2)dx
=π∫[0,2π](1-cosx)(x-k)dx
=π/2(π-k)

(2)について
k=πのときv(k)が最小値をとり、その値は0

このように考えましたが、
(２)で二次関数の平方完成なしに答えが出てしまったので
間違っている気がします。

どなたか添削お願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

> =π∫[0,2π](|x-k|(sin(x/2))^2 dx
> =π∫[0,2π](1-cos(x))(x-k)dx
なぜこんな絶対値を無視した変形をするのですか？
式も間違いなく回答者に分かる書き方をしてください。
（他の質問の回答の式をみて書き方を覚えてください。）

1行目からの変形は
v(k)=(π/2)∫[0,k](-x+k)(1-cos(x))dx
+(π/2)∫[k,2π](x-k)(1-cos(x))dx
=π(2cos(k)+k^2-2πk+2π^2-2)

(2)
v'(k)=2(-sin(k)+k-π)
k<πでv'(k)<0, k=πでv'(k)=0, k>πでv'(k)>0
k=πで最小値Minv(k)=v(π)=(π^3)-4π

途中の計算は自分でやって確認して下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます。
√を二乗したので絶対値も二乗した気になっていました。
分かりにくくて申し訳ないです。
これからは気をつけます。

確認してみます。
丁寧な解説、ありがとうございました。

回答No.5

yasei

どうやら積分内の絶対値の扱いを理解されていないようですね。

例えばf(x)=|x|を[-1,1]の範囲で積分するとします。
この場合、関数はx∈[-1,0]ではf=-x,x∈[0,1]ではf=xとなります。
この範囲で積分を分けて
∫[-1,1]f(x)=∫[-1,0](-x)＋∫[0,1](x)
となります。

大体、こんな感じでよろしいですか？

すみませんが今日は寝ます。
(1)この問題の添削がまだ必要であればお礼の所に載せておいて下さい
(2)他の問題の添削が必要であれば、あなたをお気に入りユーザーに登録しておくので質問履歴を(問題なければ)公開に設定しておいて下さい

お礼

夜遅くにご回答ありがとうございます。
積分があやふやになっています…複合されると混乱します。
変数ｋが入ってきて∫のところになにを持ってきたらいいか分かりませんでした。
(1)理解できました、丁寧な説明有難うございました。
(2)ありがとうございます。
　　公開にしておきますのでお時間がありましたら添削お願いしたいと思います。

回答No.3

yasei

(2)の時の考察が根本的に間違っています。
kの値を勝手に決めてはいけません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
勝手に決め付けていました…。

回答No.2

Tacosan

えぇと....
問題の条件から, (1) が絶対に正しくないことはほぼ明らかでは? k=3π/2 のとき v(k) が負になっちゃいますよ.
sin^2 x/2 の処理が何となく気になるけど, それ以上に絶対値が突然消えてるのがおかしいと思う.

お礼

ご回答ありがとうございます。
おっしゃるとおり、体積が負になりました。大事故です…
場合わけして解きなおしましたが、やはり負になってしまいました。

sin^2x/2=(1-cosx)/2として考えました。

回答No.1

yasei

(1)式をk<xの範囲とx<kの範囲に分ける。
絶対値を勝手に外してはいけません。

(2)そもそも計算がおかしい。
部分積分を使います。多分。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ⅰ: (x-k)　（x＞kのとき）
ⅱ:-(x-k) (x＜kのとき)に場合わけして解き直しました。

ⅰ:v(k)
=π∫[0,2π]{√(x-k)sinx/2}^2dx
=π∫[0,2π](x-k)sin^2x/2dx
=π/2∫[0,2π](x-k)(1-cosx)dx
=2π(π-k)

ⅱ:v(k)
=π∫[0,2π]{√(-x+k)sinx/2}^2dx
=π∫[0,2π](-x+k)sin^2x/2dx
=π/2∫[0,2π](-x+k)(1-cosx)dx
=2π(k-π)

どうでしょうか、ご指導お願いします。