数学の積分の問題を詳しく解説!f(x)と面積S、体積V1,V2の求め方とは?
- 数学の積分の問題について解説します。関数y=f(x)がf'(x)=-sinxという条件を満たすとき、f(x)の求め方や面積Sの計算方法、体積V1,V2の求め方について詳しく説明します。
- 問題の(1)では、関数y=f(x)がf'(x)=-sinxを満たすとき、f(x)を求める方法を解説します。また、(2)では、x軸と曲線y=f(x)にはさまれる部分の面積Sの計算方法を説明します。さらに、(3)では、(2)の図形を回転させた立体の体積V1,V2の求め方について解説します。
- 具体的な解答は以下の通りです。 (1) f(x)=cosx+1 (2) 0≦x≦πの範囲で、x軸と曲線y=f(x)にはさまれる部分の面積Sはπです。 (3) V1=3/2*π^2, V2=π^3-4*πです。
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数学の積分の問題を詳しく教えてください。
数学の積分の問題です。どうしても分からないところがあるため、解説をお願いします。 問題:関数y=f(x)がf'(x)=-sinx, f(0)=2, f(π)=0を満足するとき、次の問いに答えよ。 (1) f(x)を求めよ。 (2) 0≦x≦πの範囲でx軸と曲線y=f(x)にはさまれる部分の面積Sを求めよ。 (3) (2)の図形をx軸、y軸のまわりに回転してできる立体の体積をそれぞれV1,V2とするとき、V1およびV2を求めよ。 (1)、(2)、(3)のV1を求めるところまでははなんとか分かったのですが、(3)のV2を求めることがどうしてもわかりません。 解答のみ分かっています。 (1)f(x)=cosx+1 (2)π (3)V1=3/2*π^2, V2=π^3-4*π 詳しい解説を頂きたいです。よろしくお願いいたします。
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x=arccos(y-1) だから、 V2=π∫[0→2](arccos(y-1))^2dy=π∫[-1→1](arccosy)^2dy y=cost とおくと dy=-sintdt π∫[-1→1](arccosy)^2dy=π∫[π→0]t^2(-sint)dt=π∫[0→π]t^2sintdt 部分積分法より、 ∫t^2sintdt=2∫tcostdt-t^2cost =2(tsint-∫sintdt)-t^2cost =2tsint+2cost-t^2cost だから、 V2=π∫[0→π]t^2sintdt =π[2tsint+2cost-t^2cost][0→π] =π^3-4π
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お礼
非常に参考になりました。 ご丁寧にご説明いただきありがとうございました。