積分についての質問！！お願いしますっ！！

質問

積分は面積をどのように細分化しても求められると習い、y=x^2の(0≦x≦1）におけるx軸と囲む面積を色々な方法から求めるように言われていて、
(1)∫ydxの場合
(2)∫（1-x）dyの場合
(3)y=xに平行な直線で分割して、y=xとy=x^2ではさまれる面積を求め、底辺１、高さ１の三角形の面積から引く場合

ここまではできました。

(4)についてしつもんです。(3)が出来るならちょっとめんどくさいけどやってみて大変さを味わっておこうと思ったのですが、うまくいかず、もやもやしているので教えてください。

(4)ｙ=-xに平行な直線を用いて分割していき、y=xとy=x^2ではさまれる面積を求め、底辺１、高さ１の三角形の面積から引く場合

まず、ｙ=-x+t（tは変数）として、この直線と、y=xとy=x^2での交点間の距離をL（ｔ）として
求める面積S=1/2-2∫｛0～１｝L（t）dt/(√２)
で立式しましたが、最後にどうしても√５が残り、答え1/3と一致しません。
何がいけないのでしょうか？
教えてください。宜しくお願い致します。

尚、y=-x+tとy=x^2の交点の座標は( 1/2*(-1+√（１+４ｔ） , 1/4*(-1+√（１+４ｔ）＾２)
L（ｔ）=（-1-t+√（1+4t））/（√2）

となっています。

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

だいたいはできているようなので細かい計算は省いて説明します．直線y = -x + tと放物線y = x^2の交点の座標を(a, t - a)とおきます．ここでa = (-1 + √(1 + 4t))/2です．
(ついでながら質問を見るにまじめに計算してそうですが，このx座標aは方程式x^2 + x - t = 0の解として求めたのだからa^2 = t - aを使えば以下の計算はすこしラクをできます．)
まずひとつめにtの範囲は
0 ≦ t ≦ 2
です．これは実際に図を書いてみればすぐわかるミスでしょう．

そのあと距離L(t)を計算しますが，これは質問に書かれているもので合っています．さて積分するときですが積分するときの「底辺」に当たる部分，普通の積分だとx軸にあたる部分，といま考えているパラメータはズレていることに気をつけなければ行けません．そのまま積分すると「底辺」はtの動く範囲の1/√2倍なので面積も1/√2倍ズレてしまいます．したがって面積を求める正しい式はその文を補正して
S = (1/2) - (1/√2)∫{0~2} L(t) dt = 1/3
です．あるいは一回変数変換s = t/√2をして
S = (1/2) - (1/√2)∫{0~√2} (-1 - √2 s + √(4√2s + 1)) ds = 1/3
とやっても同じ事です．ちなみに最初から直線y = xに沿って弧長パラメータsを選んでおけばこんな面倒もなく同じ式が普通にでます．

お礼

早急な回答ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

√5 が出てくる理由は、t = 1 を代入したからでしょ。
S = 1/2 - 2 ∫{0～1} L(t) dt/(√2) ではなく、
S = 1/2 - ∫{0～2} L(t) dt/(√2) です。

dt/(√2) の処理も正しいようだけど、
積分記号の左の 2 の由来は謎ですね。

お礼

対称だと思い込んで、勝手に２倍すればいいやと思ってしまいました。ご指摘ありがとうございます。