数II・微分積分

質問

【問1】関数f(x)がf(x)=3x^2-x∫(1→0)f(t)dt+∫(0→-2)f(t)dtを満たす。
a,bを定数として、∫(1→0)f(t)dt=a…(1)、∫(0→-2)f(t)dt=b…(2)とおくと、(1)から、アa-イb=2、(2)からウa+b=エオが成り立つ。
したがってf(x)=3x^2+カx-キである。

【問2】2つの放物線y=-x^2+3x-2…(1)、y=x^2-(2a+1)x+2a…(2)がある。
ただし、a＞0とする。
(1)とx軸とで囲まれた部分の面積をS1とすると、S1=ア/イである。
また、(1)、(2)の交点のx座標はウとa+エであるから、(1)、(2)で囲まれた部分の面積をS2とすると、S2=a^オ/カである。
更にS2=2S1となるときのaの値を求めるとa=キである。

【問3】放物線C：y=x^2-2x上の点Pのx座標をt(t＞2)とする。
Pにおける接線をl1とし、原点OにおけるCの接線をl2とする。
このとき、l1の方程式はy=ア(t-イ)x-t^ウであり、l1とl2の交点をQとするとQのx座標はt/エ、l2およびCで囲まれた図形の面積S1はS1=t^オ/カキであり、2直線l1、l2とCで囲まれた図形の面積S2はS2=t^ク/ケコである。
ゆえに、S1：S2=サ：シである。

回答No.3

info22_

#1,#2です。

続いて【問3】だけ

C：y=x^2-2x　...(1)

P(t,t^2-2t)(t＞2)における接線l1の方程式は
y'=2x-2=2(x-1)　...(2)より
y=2(t-1)(x-t)+t^2-2t
l1：y=2(t-1)x-t^2 ...(3) →　y=ア(t-イ)x-t^ウ

ア=2, イ=1, ウ=2

原点OにおけるCの接線l2の方程式は、(2)より
l2: y=-2x ...(4)

l1とl2の交点をQとするとQのx座標は
(3),(4)からyを消去して解くと
-2x=2(t-1)x-t^2
2tx=t^2
t>2なので 2tで割って
　x=t/2 ...(5) →　t/エ

エ=2

l2およびCで囲まれた図形の面積S1は
囲まれた図形は存在しませんので1=0
問題文が間違っていないかチェックしてください。
>S1=t^オ/カキ
問題文ミスなのでオ、カ、キは解答しようがありません。

■問題が「x=t/エ=t/2とl2およびCで囲まれた図形の面積S1」...(☆)であれば
S1=∫[0,t/2]{((x^2-2x)-(-2x)}dx=t^3/24　→　S1=t^オ/カキ
オ=3, カ=2, キ=4

2直線l1、l2とCで囲まれた図形の面積S2
S2=∫[0,t/2]{(x^2-2x)-(-2x)}dx+∫[t/2,t]{(x^2-2x)-(2(t-1)x-t^2)]dx
=t^3/12 → S2=t^ク/ケコ
ク=3, ケ=1, コ=2

(☆)のようにS1を訂正した場合は
S1：S2=1/24:1/12=2:1 → S1：S2=サ：シ

サ=2, シ=1

回答No.2

info22_

つづいて【問2】だけ

y=-x^2+3x-2…(1)
y=x^2-(2a+1)x+2a…(2)
ただし、a＞0
(1)とx軸とで囲まれた部分の面積をS1とすると
(1)より y=-(x-1)(x-2)なのでx軸との交点はx=1,2
従って
S1=∫[1→2] (-x^2+3x-2)dx=[-x^3/3+3x^2/2-2x][1→2] =1/6 →　S1=ア/イ
ア=1, イ=6

(1)、(2)の交点のx座標は
(2)-(1)より
2x^2-2(a+2)x+2(a+1)=0
x^2-(a+2)x+a+1=0
(x-1)(x-a-1)=0
∴x=1,a+1 → ウとa+エ
ウ=1, エ=1

(1)、(2)で囲まれた部分の面積をS2とすると
a>0なので　1<a+1
(1)-(2)を1からa+1まで積分すればよいから

S2=∫[1→a+1] -2(x^2-(a+2)x+a+1)dx
=-2[x^3/3-(a+2)x^2/2+(a+1)x][1→a+1]
=-2[((a+1)^3-1)/3 -(a+2)((a+1)^2-1)/2 +(a+1)a]
=a^3/3 →　a^オ/カ

オ=3, カ=3

S2=2S1となるときのaの値は
　a^3/3=2/6
　a^3=1
　∴a=1 → a=キである。

キ=1

回答No.1

info22_

問題だけ書いて何が分からないか書いてありません。
問題の丸投げはやめましょう。
途中計算を書いてどこで詰まっているか、を補足願います。

取り敢えず【問1】だけ

積分の上限と下限の書き方が逆のようです。前が下限、後ろが上限として書くようにしてください。

f(x)=3x^2-x∫(0→1)f(t)dt+∫(-2→0)f(t)dt …(3)
∫(0→1)f(t)dt=a…(1)
∫(-2→0)f(t)dt=b…(2)

(3)は
f(x)=3x^2-ax+b …(4)
(1)から
∫(0→1)f(t)dt=∫(0→1)(3t^2-at+b)dt=[t^3-at^2/2+bt](0→1)=1-a/2+b=a
2-a+2b=2a
3a-2b=2…(5) →　アa-イb=2

(2)から
∫(-2→0)f(t)dt=∫(-2→0)(3t^2-at+b)dt=[t^3-at^2/2+bt](-2→0)=8+2a+2b=b
2a+b=-8…(6) →　ウa+b=エオ
(5),(6)のa,bの連立方程式を解いて
a=-2,b=-4

したがって(4)より
f(x)=3x^2+2x-4…(7) →　 3x^23x^2+カx-キ