数学（行列，微分・積分、ベクトル）

質問

数学の問題について，自分なりに解答したのですが，答えがないためあっているかがわかりません。解答のチェックをお願いしたいのですがよろしくおねがいします。（高校レベルの問題だと思います。）

問1次の微分・積分を求めなさい。
(1)d/dx (log|x+√(x^2+2)|)
(2)∫e^(x)sin(x) dx

(1)d/dx (log|x+√(x^2+2)|) = {x+√(x^2+2)}/{x*√(x^2+2)+x^2+2}
(2)∫e^(x)sin(x) dx =(e^(x)*sin(x)-e^(x)*cos(x))/2

問2
(1)曲線y=x^2上の点P(1,1)における接線の方程式を求めなさい。
(2)曲線y=x^2と(1)で求めた点Pでの接線とx軸で囲まれる領域の面積を求めなさい。

(1)y=2x-1
(2)∫(0→1/2) x^2 dx + ∫(1/2→1) x^2-(2x-1) = 1/12

問3
4点 A(1,2) B(3,-2) C(x,y) D(-2, 0)を頂点とする四角形ABCDが平行四辺形である様に点C(x,y)の座標を求めなさい。また、その平行四辺形の面積を求めなさい。

（解答）
AB =<2, -4>, AD =<-3, -2>, DC=<x+2, y>, BC=<x-3, y+2>
四角形ABCDが平行四辺形になるためには，AB=DC, AD=BCを満たさなければならない。
上式の関係より，x=0, y=-4。よって求める点Cの座標は(0,-4)となる。

よって求める平行四辺形の面積Sは
S=|AB×AD|=16

問4　2行2列の行列
J=
(0 1)
(-1 0)

A=
(a b)
(c d)
がある。
(1)Jの逆行列を求めなさい。
(2)A^(T)JA=J　を満たすときに，AJA^(T)を求めなさい。但し，A^(T)はAの転置行列である。

(1)
J^(-1)=
(0 -1)
(1 0)

(2)
A^(T)JA=J　より　AA^(T)JAA^(T)=AJA^(T)　→　J=AJA^(T)
よって，AJA^(T)=J

回答No.2

OurSQL · ベストアンサー

問1 の (1) は間違ってはいないけれど、もっと簡単な形に変形できます。
と言うより、あなたがわざわざ複雑な形に変形してしまったのです。
「分子の分子部分」と分母で約分すればよかったのに、分子と分母の両方に「分子の分母部分」を掛けてしまったため複雑になったのです。
正解は、以下のリンクで確認してください。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+log%7Cx+%2B+%28x%5E2+%2B+2%29%5E1%2F2%7C

お礼

回答がでました。ありがとうございます。

回答No.1

ferien

問1の（１）以外は、合っていると思います。

問4（2）は答えは合っていると思いますが、やり方として

ＡＡ^（Ｔ）＝Ｅ　とはならないので、式変形が違うと思います。

成分の計算で地道にやると、条件Ａ^（Ｔ）ＪＡ＝Ｊからａｄ－ｂｃ＝1　が出てきます。

ＡＪＡ^（Ｔ）も成分計算で地道にやると、結局答えは，Ｊとなります。

（他にいい方法があるかも知れませんが。）

補足

ＡＡ^（Ｔ）＝Ｅ　はなりたたないのですね？僕は成り立つものだと思っていました。地道に計算していったら，条件Ａ^（Ｔ）ＪＡ＝Ｊから確かに，ad-bc=1という関係が得られました。
問1の(1)の回答が間違っているとしてきされましたがどのように間違ってますか？確認してみても同じ答えがでてしまうのですが。