行列をベクトルで微分するにはどうしたらよいでしょうか。

質問

例えば、２×２の行列Aを
a(x,y) b(x,y) c(x,y) d(x,y) を成分に持つ

A=(a b ;c d)

において、ベクトルｖ(x,y)で微分するとどのようになるのでしょうか。テンソルまたはテンソル風に複雑になるというような記述がありますが、わかる方教えてください。
また、勉強できる本、サイトがあれば教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

decidrophob · ベストアンサー

成分を中心に考えても、
微分を中心に考えても良いですが、

要は、a, b, c, d　それぞれの微分は知ってるんですよね？多分、単に偏微分を並べたベクトルのことをいってると思うので、あとは、そのベクトルを A の行列の順序で並べたテンソルを作ればよいのです。

お礼

回答ありがとうございます。テンソルをまだよく理解していないのでよくはわかりません。勉強の必要性を感じます。

補足

行列Aの成分　a, b, c, d　は例えば
a=CY b=CX c=O（０行列） d=I（単位行列）
C（行列）、Y（ベクトル）、X（ベクトル）として
Aを（X,Y）で微分するというものです。

回答No.2

grothendieck

Aを多様体R^2からR^2への滑らかな写像としたとき、Aの微分とは、接空間TR^2からTR^2への写像であり、像空間Ｒ^2上の関数を元の空間に引き戻してから接ベクトルを作用させるものとして定義されます。一般には写像のヤコビアンになるのですが、Aが線形写像であれば微分は成分表示すればA自身になるのではないでしょうか。
（参考書）
　Richard Bishop, Samuel Goldberg,"Tensor Analysis on Manifolds"

お礼

回答ありがとうございます。やはり、理解するのには基礎不足ですね。