積分

質問

座標平面において、連立方程式
●【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】≦1
●y≦√(2x)
●y≧0

の面積が直線y=axで二等分されているとき、定数aの値の求めかたを教えてください。

【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】=1とy＝√(2x)との交点のx座標は
x=√3/2
【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】=1とy＝√(2x)との交点をPとおいてそのＰからの垂線をP'とおくと
面積OPAの面積をS1とすると
面積OPP'＋扇形PP'A
面積OPP'(1/2)*(√3/2)*√2*(√3/2)
扇形PP'Aの面積が分からないので教えてください
∫(√2/√3)*【(√3-(x＾2))】はどのように現われたのでしょうか？

また面積OPA'を求めかた後どのような求めかたをすればいいのでしょうか？

回答No.6

Mr_Holland · ベストアンサー

＃４／＃５です。
　補足を拝見しました。

＞S2について教えてください
＞(1/2)*√3cosr*√2sinr
＞の√3cosrと√2sinrはどのようにして現われたのでしょうか？

＞∫√(2/3)√(3-x^2)dx　の範囲の√3cosrはどのようにして現われたのでしょうか？

　cosrや2sinrを書いた覚えはないのですが、どこから出てきたのですか？
　あなたの使っているテキストに書かれているのであれば、そのことを記載してもらわないと分かりません。

＞円：x^2+y^2=3　とy軸方向に√(2/3)倍が分からないので教えてくれませんか？

　どのように分からないのか教えてもらえませんか？
　（それが分からないと解説のしようがありません。）
　円：x^2+y^2=3　上のすべての点のｙ座標を√(2/3)倍すれば、楕円：(x^2)/3+(y^2)/2＝1　になります。これで分からなければ作図してみてください。

　以後の補足は、あたなの疑問点に関わるテキストの記述と、円と楕円の作図をされた後に受け付けます。

お礼

積分の範囲はθ=α→0と表されるのでしょうか？

補足

x＝√{6/(3a^2+2)}　のとき　
　　　cosθ＝√{2/(3a^2+2)}
　　　ｓinθ＝±{1-(cosθ)^2}＝±(√3)a/(3a^2+2)
　　　　＝(√3)a/(3a^2+2)　　（∵0≦θ≦π/2）
について教えてください
cos,sinがどうやって求められたのか分かりません

回答No.5

Mr_Holland

＃３です。
　参考として、積分を用いない解法を示しておきます。
　（楕円の性質を使うもので、この方が簡単です。）

　問題の楕円：(x^2)/3+(y^2)/2＝1　は、円：x^2+y^2=3　をy軸方向に√(2/3)倍拡大（実際には√(2/3)＜１なので、縮小)したものです。
　従って、面積S1は、逆に√(3/2)倍すると、半径√3で中心角がπ/3の扇形になります。このことを利用するとすぐに面積S1が求められて、
　　S1√(3/2)＝π(√3)^2×(π/3)/(2π)
　∴S1＝π/√6
と得られます。
　一方、半径√3で中心角がπ/3の扇形の面積を半分にして、原点を通る直線は、中心角がπ/6の扇形を2つ作りますので、この直線の傾きは、tan(π/6)＝1/√3　になります。
　楕円では、上記の円での関係がすべてｙ軸方向で√(2/3)倍ことなりますので、求める直線の傾きａは次のようになります。

　　ａ＝tan(π/6)×√(2/3)
　　　＝(√2)/3

　なお、上記の楕円の性質は、楕円を媒介変数表示して、半径√3の円と楕円を一緒に描いてみると分かりやすいかと思います。
　　ｘ＝(√3)cos(t)
　　ｙ＝(√2)sin(t)

補足

解説ありがとうございます
円：x^2+y^2=3　とy軸方向に√(2/3)倍が分からないので教えてくれませんか？

回答No.4

Mr_Holland

一通り問題を解いてみます。
　その中で、疑問に答えたいと思います。

　その前に、問題の連立方程式ですが、前の方たちが指摘されているように
＞●y≦√(2x)
は、y≦(√2)x の誤りとして問題を設定します。
　そして、質問の中で点Aが未定義ですが、楕円：(x^2)/3+(y^2)/2＝1 とx軸の交点のうち、x>0となるものを点Aとすることにします。（つまり、点A（√3,0)。）

　　(x^2)/3+(y^2)/2≦1　　・・・・(A)
　　y≦(√2)x　　　　・・・・・・・(B)
　　y≧0　　　・・・・・・・・・・・(C)
　　y＝ax　　　・・・・・・・・・・・(D)

　式(A),(B)から、点P,P'の座標は、次のように求められます。
　　点P（ (√3)/2,(√6)/2）、 点P'（ (√3)/2,0）

　また、楕円：(x^2)/3+(y^2)/2＝1　と直線：y＝ax　の交点のうち、y≧0のものを点Qとし、そこからx軸に下ろした垂線の足を点Q'とすると、点Q,Q'の座標は、次のように求められます。
　　点Q（√{6/(3a^2+2)},a√{6/(3a^2+2)}）、点Q'（√{6/(3a^2+2)},0）

　ここで、面積S1を求めるために、まずは、扇形PP'A　の面積を求めることにします。
　楕円：(x^2)/3+(y^2)/2＝1　の方程式をｙについて解きますと、
　　(x^2)/3+(y^2)/2＝1
　⇔(2/3)x^2+y^2＝2
　⇔y^2＝(2/3)(3-x^2)
　∴y＝±√(2/3)√(3-x^2)
を得ます。
　今、ここで考えている面積は、xy平面上の第1象限になりますから、ｙ≧0の範囲に限定すると、
　　y＝√(2/3)√(3-x^2)　　　・・・・・(E)　　←これが質問者さんの疑問の式の求め方です。
となります。

　扇形PP'A　の面積は、式(E)をxが(√3)/2から√3の範囲で積分したものですから、
　　（扇形PP'A　の面積）
　＝[x=(√3)/2→√3]∫√(2/3)√(3-x^2)dx　　　・・・・・(F)
となります。
　ここで、x=(√3)cosθ （0≦θ≦π/2）と置いて変数変換しますと、
　　dx＝-(√3)sinθ・dθ
　　x＝(√3)/2　のとき　θ＝π/3
　　x＝√3　のとき　θ＝0
　　√(3-x^2)＝√{3-3(cosθ)^2}＝(√3){1-(cosθ)^2}＝(√3)|sinθ|
　　　　　　＝(√3)sinθ　　（∵積分区間:0≦θ≦π/3では、sinθ≧0　）
となりますので、これらを式(F)に入れますと、
　　（扇形PP'A　の面積）
　＝√(2/3)×[θ=π/3→0]∫(√3)sinθ{-(√3)sinθ}dθ
　＝(√6)×[θ=0→π/3]∫(sinθ)^2・dθ　　　←被積分関数の符号を反転したことで、積分区間も反転させたことに注意してください。
　＝(√6)×[θ=0→π/3]∫{1-cos(2θ)}/2・dθ　　←sinの半角の公式を利用。
　＝(√6)/2×[θ-sin(2θ)/2][θ=0→π/3]
　＝(√6)/2×{π/3-(√3)/4}
　＝π/√6－(3√3)/8
と求められます。
　従って、面積S1は次のようになります。
　　S1＝(△OPP'の面積)＋（扇形PP'A　の面積）
　　　＝1/2*(√3)/2*(√6)/2＋π/√6－(3√3)/8
　　　＝π/√6　　　　　　　　　　・・・・・・・・(G)

　次に、ｘ軸と楕円：(x^2)/3+(y^2)/2＝1　と直線：y＝ax　に囲まれた面積をS2として、これを求めるために、扇型QQ'Aの面積を求めます。
　この面積は、式(E)をxが√{6/(3a^2+2)}から√3の範囲で積分したものですから、
　　（扇型QQ'Aの面積）
　＝[x=√{6/(3a^2+2)}→√3]∫√(2/3)√(3-x^2)dx　　　・・・・・(H)
となります。

　ここで、扇型PP'Aを求めたときと同様に変数変換しますと、
　　x＝√{6/(3a^2+2)}　のとき　cosθ＝√{2/(3a^2+2)}
　　　　　　　　　　　　　　　 sinθ＝±{1-(cosθ)^2}＝±(√3)a/(3a^2+2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(√3)a/(3a^2+2)　　（∵0≦θ≦π/2）
となり、このときのθをαとします。（従って、cosα＝√{2/(3a^2+2)}　）　　・・・・(I)
　ちなみに、∠αは、斜辺√(3a^2+2)、底辺√2、高さ(√3)aとする直角三角形の斜辺と底辺に挟まれる角に相当します。

　このことから、扇型QQ'Aの面積は次のように求められます。
　　（扇型QQ'Aの面積）
　＝√(2/3)×[θ=α→0]∫(√3)sinθ{-(√3)sinθ}dθ
　＝(√6)×[θ=0→α]∫(sinθ)^2・dθ
　＝(√6)/2×[θ-sin(2θ)/2][θ=0→α]
　＝(√6)/2×{α-sin(2α)/2}
　＝(√6)/2×{α-sinαcosα}
　＝(√6)/2×[α-(√3)a/(3a^2+2)×√{2/(3a^2+2)}]
　＝(√6)α/2－3a/(3a^2+2)

　従って、面積S2は次のようになります。
　　S2＝(△OQQ'の面積)＋（扇形QQ'A　の面積）
　　　＝1/2*√{6/(3a^2+2)}*a√{6/(3a^2+2)}＋(√6)α/2－3a/(3a^2+2)
　　　＝α(√6)/2　　　　　　　　　　・・・・・・・・(J)

　題意より、S1=2・S2　であるので、式(G),(J)から、
　　π/√6＝2×α(√6)/2
　∴α＝π/6
となりますので、この値を式(I)に入れますと、
　　cos(π/6)＝√{2/(3a^2+2)}
　⇔(√3)/2＝√{2/(3a^2+2)}
　⇔a^2＝2/9
となりますが、題意よりa＞０でなければ面積S1を分割できませんので、
　∴　a＝(√2)/3
という値を得ます。

　なお、質問者さんは、次の式変形で躓いておられるようですが、次のように行えます。
＞【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】＝1をyについて解くと
＞y=(√2)-{【(x＾2)*√2】/√３}になってしまいます。

　ｙ＝√2-x^2*(√2)/√3
　　＝√2{1-x^2/(√3)}　　　←√2　で括ります。
　　＝{√(2/3)}・(3-x^2)　　　←1/(√3)　で括ります。

　参考にしてください。

補足

解説ありがとうございます。
S2について教えてください
(1/2)*√3cosr*√2sinr
の√3cosrと√2sinrはどのようにして現われたのでしょうか？

∫√(2/3)√(3-x^2)dx　の範囲の√3cosrはどのようにして現われたのでしょうか？

回答No.3

info22

＃２です。
先に回答者の補足要求の質問の訂正等の補足をして下さい。
回答に必要です。
＞●y≦√(2x)
は正しいですか？間違っている場合は訂正してください。

＞∫(√2/√3)*【(√3-√(x＾2))】の現われ方が分かりません。
この式の書き方もdxが抜けていること、式も正しくありません。
質問は正確にお書き下さい。
＞【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】＝1をyについて解くと
＞y=(√2)-{【(x＾2)*√2】/√３}になってしまいます。
(y＾2)/2＝1－【(x＾2)/3】
(y＾2)＝(2/3){3－(x＾2)}
y＝(√(2/3)}√{3－(x＾2)}
これを積分しますので
∫(√2/√3)*【√(3-(x＾2))】dx
となります。

回答No.2

info22

＞座標平面において、連立方程式
＞●【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】≦1
＞●y≦√(2x)
＞●y≧0
連立不等式ですね。

＞【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】=1とy＝√(2x)との交点のx座標は
＞x=√3/2
こうなりませんね。
x=(-3+√21)/6となります。
x=√3/2となる為に逆算すると
＃１さんが推測されているように
2番目の式がy=(√2)xでなければいけません。

質問者さんが補足で問題を修正して頂かないといけません。
間違った問題で回答を進めても意味がありません。
如何ですか？

補足

すいません。
∫(√2/√3)*【(√3-√(x＾2))】の現われ方が分かりません。

回答No.1

banakona

＞【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】=1とy＝√(2x)との交点のx座標は
＞x=√3/2
これは不合理なので、おそらくy＝√(2x) は、y＝(√2)x の間違いでしょう。
＞(√2/√3)*【(√3-(x＾2))】
はおそらく(√2/√3)*(√(3-x＾2))の間違いで、だとすれば、これは
【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】＝1をｙについて解いたものです（ただしｙ≧０とした）。
＞●【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】≦1
＞●y≦√(2x)
＞●y≧0
の面積は、(√2/√3)*(√(3-x＾2))を
＞x=√3/2
からｘ＝√３まで積分し、
＞面積OPP'(1/2)*(√3/2)*√2*(√3/2)
を加えましょうか。積分はｘ＝(√3)cosθと置換すればできます。

補足

【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】＝1をyについて解くと
y=(√2)-{【(x＾2)*√2】/√３}になってしまいます。