積分

質問

ｘ＝ｃｏｓｔ、ｙ＝ｃｏｓ２ｔ(０≦ｔ≦Π)の２直線とｘ軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。
媒介変数を用いて解いていき面積は－∫３Π/４からΠ/４までのｃｏｓ２ｔ(ｃｏｓｔ)’ｄｔと言う式を出しました。ここからの計算法が分かりません。模範解答を見るといきなり［(２ｃｏｓ＾３・ｔ／３)－ｃｏｓｔ］のΠ／４から３Π／４までとなっています。どうしてこのようになるのか教えて下さい。とても見にくい質問ですみません。

回答No.3

shinchan_k · ベストアンサー

#2さんの解法と同じですが・・・
f(x)をaからbまでxについて積分するのを
∫[a,b]f(x)dx
と表すことにします。

-∫[3π/4,π/4](cos2t)(cost)'dt
=∫[π/4,3π/4](2(cost)^2-1)(cost)'dt
=∫[π/4,3π/4](2(cost)^2(cost)'-(cost)')dt
=[(2(cost)^3)/3-cost][π/4,3π/4]

あとの計算はお任せします。
F(x)=∫f(x)dxとすると
∫(f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C
となります。g(x)=uと置換すればすぐに証明できます。

お礼

有難うございます。答えが出ました。置換した方が早かったです。

回答No.2

noname#24477

倍角公式を使って
cos2t=2(cost)^2-1

∫{2(cost)^2-1}(cost)'dt
中カッコを展開して考えてください。
逆に答の式を微分してみると式のつくりが分かりやすい
かもしれません。

わかりにくければ展開しないで
cost=x という置換(というかxに戻すことになりますが)
をしてみてください。

お礼

ヒント、ありがとうございます。解いてみます。

回答No.1

meiv

ぱっと見の形は、ti-zuさんが出された式から部分積分法とコサインの半角の公式を使っていく感じだと思うのですが・・・間違っていたらすみません；その方法で出たら、回答させていただきますね。

お礼

すみません。有難うございます。