円の面積なんですが

質問

仕事で面積を求めないといけないんですが
すっかり忘れてしまって…(^^;
微分積分を使ってたような気がするんですが。。

例えば
まずＸ軸Ｙ軸があります。
その交点（座標で言うと（0,0)です）を中心にして
半径10cmの円があります。
この円を縦に分割するような直線があります。
この直線は中心から3cm右にあります（Ｙ軸と平行です）

この直線で円は右と左に分割されますが、
その分割された左右の面積を求めたいのです。

昔の記憶をたどりながらやってみましたが
さっぱり分りませんでした(^^;
すいませんがお願いできますか？

回答No.3

hinebot · ベストアンサー

積分より三角関数を使った方が楽かも。

円の中心をＯ，円と直線の交点でｙがプラスの方をＡ、直線とｘ軸との交点をＢ（座標は(3,0)）とします。
また、円とｘ軸との正の交点をＰとします。
ここで、∠ＡＯＣ＝θとします。

△ＡＯＢで、ＡＯ＝１０，ＯＢ＝３なので
三平方の定理から
ＡＢ＝√(100-9)=√91
よって、sinθ =√91/10から
△ＡＯＢの面積 = (1/2)*10*3*√91/10 =(3√91)/20
扇形ＡＯＰの面積＝{100π*Arcsin(√91/10)}/360
=5π*Arcsin(√91/10)/18

あとは
右側（小さい方）
＝（ＡＢＰで囲まれた面積）＊２
＝（扇形ＡＯＰ－△ＡＯＢ）＊２

左側（大きい方）
＝円－右側　＝ 100π －（扇形ＡＯＰ－△ＡＯＢ）＊２

で計算できます。

※Arcsin は sinの逆関数で、ExcelのASIN関数で計算できます。（ただし、度単位ではなくラジアン単位なので注意してください）
Arcsin(√91/10)　を計算すると約72.5°となりました。

お礼

回答下さった皆様、ありがとうございました。
ココにまとめてお礼させて頂きます。

皆様の仰るとおり、微分など使わなくても
求められますね(^^;
すっかり頭が固くなってしまいまして情けないです(^^;

円・直線・面積という言葉で「なんだか昔、微積
使って解いたような…絶対そうに違いない！」
と頭が固まってしまいました。。

皆様のおかげで解けました。
ありがとうございました。

回答No.2

shinkun0114

円の中心を点O
中心から3cm離れた直線と円の交点を、AおよびBとします。
　Aの座標は(x1,y1)
　Bの座標は(x1,-y1)
x1=3　y1＞0
半径r=10ですから、y1=√(r^2-x1^2)
となります。

面積を求めるには、扇型AOBから三角形AOBを引けばいいわけです。

角AOB＝θとすると、
tan(θ/2)＝y1/x1＝√(r^2-x1^2)/x1
　　θ/2≒1.266rad

扇型AOBの面積A0は、
　A0＝(θ/2)・r^2
　　≒126.6cm^2
三角形AOBの面積A1は、
　A1＝1/2×√(r^2-x1^2)×2
　　＝28.6cm^2

直線で区切られた右側の面積は
　A＝A0-A1
　　≒98.0cm2

回答No.1

toshiki78

微積は使わなくても解ける。
（０、０）から右上だけで考えます。
円と直線の交点を中心と結んで扇形を二つ作ります。。
さらに交点からX軸に垂直に交わる交点を作ります。
これで図形が３つに分割さるので。
後はピタゴラスや正弦定理を使って計算すれば。