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積分法の面積・体積のグラフ描画のコツとは？
- 数IIIの中で積分法の面積・体積が難しいと感じています。特にグラフの描き方についてのコツを知りたいです。
- 具体的な問題として、y=x-4√xとy=x(3-x)によって囲まれた面積を求める問題があります。微分をするとy'=1-2/(√x)となり、y'=0のときはx=4となりますが、増減表を描く際に変になってしまいます。
- 積分の範囲で描かれるグラフは微分の範囲のグラフよりも難しいと感じています。なぜなのでしょうか？
- 2010hiroki
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こんばんわ。 ＞グラフを描くコツをおしえてください 面積や体積の計算をするために、増減表まで書くのは面倒ですし、時間がもったいないですね。＾＾ （グラフの概形や最大・最小を求めるための回答ではありませんから。） 目的は、2つのグラフの上下関係といった概形を得ることですよね。 ・増減表を書くのではなく、1階微分をして極値点を探しましょう。 ・あとは、x軸や y軸で交わる点もポイントです。 （y＝ x* sin(x)のグラフなんかは、x＝ nπで必ず 0になっているところがポイントになりますね。） ・x→±∞の極限値も考えた方がよいとき「も」あります。 少し感覚を使う方法もあります。 たとえば、y＝ x-4√xのグラフは y＝ xと y＝4√xのグラフを引き算するイメージになります。 （y＝ -4√xを足すというイメージでもよいです。） 引く量が増えていくけど、結局は増える方が多くなる・・・みたいな感覚でみていくと、添付のように概形を考えられるようにもなります。 ちょっと結果論っぽいですけども ＾＾； まずこの考えを持つためには、基本関数の概形を押さえておく必要がありますね。 また、y＝ x* sin(x)のグラフでも、y＝ xと y＝ sin(x)の掛け算である。という見方をすれば、 ・-1≦ sin(x)≦ 1ですから、xが大きくなるにつれて「振幅」は大きくなっていくはずですよね。 ・そして、sin(x)の性質から x＝ nπでは 0になる。 このように組み合わせられている関数を「分けて見る」というのも、一つの方法ではあります。
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- OKXavier
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>解答ではｘが0～4ではx軸よりも上にあるというように書いてある>のですがどうしてもx軸を下回る二次関数みたいになってしまいま>す. その説明には誤りがあるようです。 あなたの考えた形で正解です。 この問題は、ｘ軸と曲線とで囲まれた面積を求めるので、 曲線がｘ軸と交わる点まで把握できればいいので、ｘが大きく なったら、ｘ軸とはもう交わらないことだけ押さえればOKです。 増減表では、x=4 を境にy'>0 となり、以降は増加し続ける ので、ｘ軸とはx=0, x=16で交わるのみです。 変曲点がないので、下に凸のまま増加していきます。 参考にグラフを載せておきます。
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