増減表のかきかた

質問

はじめまして。
関数f(x)=(x^2)logx(x＞0)を考える。
y=f(x)の増減と凹凸を調べ、グラフをかけ。lim(x→+0)x^2logx=0を用いてよい。
この問題なんですが、計算をして、x=1/√eのとき極小値をとり、x=1/e√eのとき変曲点をとることがわかりました。
増減表の書き方なんですが、f(x)=0になるのはx=0,1なので、この値も増減表の範囲に入れるんですか？lim(x→+0)x^2logx=0を用いてよい。とあるので、原点は定義されないのはわかるのですが、いまいち範囲がわかりません。
難しいかもしれませんが、できれば模範解答のように、実際に増減表を書いて、わかりやすく教えていただきたいです。
＋と－のとり方を主に教えて下さい。お願いします！

回答No.4

fuuraibou0

ちょっと増減表を間違えていました。御免なさい！

ｘ 　 ０・ １/３・・ １/ｅ・・１/２・・１/√３・・１/√ｅ・・１/√２・・１・・ ２・・
f'(ｘ) ・・・ －・・・・－・・・・－・・・・－・・・・・ ０・・・・・＋・・・・＋・・＋・・
f ”(ｘ) ・・ －・・・・０・・・・＋・・・・＋・・・・・ ＋・・・・・＋・・・・＋・・＋・・
f (ｘ) ０ ・＼・－１/ｅ^2・・＼・・・・＼・・・－１/２ｅ・・・／ ・・・・０・・ ／・・

回答No.3

fuuraibou0

変曲点は、f ”(ｘ0)＝０　で、かつ ｘ0　の前後で、f ”(ｘ)　の
符号が変わるとき、ｘ＝ｘ0　の点が変曲点です。よって、

f ”(ｘ) ＝ ２*logｘ＋１＋ｘ(１/ｘ) ＝ ２(logｘ＋１) ＝ ０ より、
logｘ＝－１　　∴　ｘ＝ｅ^-1＝１/ｅ

f ”(1/3) ＝ ２{ log(１/３)＋１} ＝ ２(log１－log３＋logｅ) ＜ ０
f ”(1/2) ＝ ２{ log(１/２)＋１} ＝ ２( log１－log２＋logｅ) ＞ ０

ｘ 　 ０・ １/３・・ １/ｅ・・１/２・・１/√３・・１/√ｅ・・１/√２・・１・・２・・
f'(ｘ) ・・・ －・・・・－・・・・－・・・・０・・・・・ ＋・・・・・＋・・・・＋・・＋・・
f ”(ｘ) ・・ －・・・・０・・・・＋・・・・＋・・・・・ ＋・・・・・＋・・・・＋・・＋・・
F (ｘ) ０ ・＼・－１/ｅ^2・・＼・－１/２ｅ・・・・／・・・・・０・・・・ ／・・／・・

回答No.2

fuuraibou0

なお、増減表をより詳しく描くと、ｘ＝１　で、f (x)＝０　も入れた方がよい。

ｘ　　０・・１/√３・・１/√ｅ　・・・１/√２ ・・・１ ・・・ ２　・・
f'(x)　　・・ － ・・　 　０　　　・・・　 ＋　・・・ ＋ ・・ ＋　・・
f(x)　０ 　　＼　・ －１/２ｅ　・・・ 　／　・・・ ０　・・ ／　・・

補足

回答ありがとうございます。
わかりやすく書いていただいて、ありがたいのですが、変曲点の前後の増減が知りたいんです。
変曲点の部分を入れた増減表の書き方を教えてくれませんか？
何度もすみませんm(__)m

回答No.1

fuuraibou0

f(x)＝(ｘ^2)*logｘ　を微分して、

f'(x)＝２ｘ*logｘ＋(ｘ^2)*１/ｘ＝ｘ(２*logｘ＋１)＝０　より、
log(Ｘ^2)＋１＝０　で、ｅ^-1＝ｘ^2　　∴　ｘ＝ｅ^(-1/2)＝１/√ｅ　のとき、
f(１/√ｅ)＝(１/√ｅ)^2*log(１/√ｅ)＝－１/２ｅ

なお、f"(x)＝２ｘ*logｘ＋ｘ^2*１/ｘ＝２*logｘ＋３＞０　より、f(x) は下に 凸 で、f(１/√ｅ)＝－１/２ｅ　は最小値。

また、lim(ｘ^2)*logｘ＝０　
・・・・x→0

よって、f'(1/√3)＝(１/√３){２log(1/√3)＋１}
　　　　＝(１/√３)(log１－log３＋logｅ)＜０　

　　　　f'(1/√２)＝(１/√２){２log(1/√2)＋１}
　　　　＝(１/√２)(log１－log２＋logｅ)＞０　などより、ｅ＝２.７１８２８１８　で、

ｘ　　０　・・・ １/√ｅ　・・・　
f'(x)　　 － 　 　０　　 ＋
f(x)　０ ＼ －１/２ｅ　 ／　のような増減表より、グラフが描けると思います。